Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:
Desde que le dediqué un escrito a la transformada de
Fourier, siempre tuve en la cabeza ampliar un poco más detalles en un segundo
post
Tengo que confesar que siento especial predilección por las
transformadas de Laplace y Fourier, y ello por una razón aplastante: convierten
lo complejo en sencillo
Todo este gusanillo proviene, como casi siempre, de que
aparezca en tu adolescencia ( la edad donde definimos nuestros gustos, filias y
fobias para siempre ) un profesor inolvidable, entusiasta como pocos, que tuve
en el colegio Maravillas de Madrid, en mis años mozos. El estaba empeñado en
que la transición a la universidad fuera lo menos traumática para nosotros y
nos impactaba con ejemplos de grandes matemáticos que daban soluciones
extremadamente sencillas a problema muy complejos. Siempre decía que la
sencillez estaba ahí, y que solo era cuestión de buscarla con las gafas
adecuadas
Con las transformadas su estrategia funcionó a la
perfección: nos infló a resolver ecuaciones diferenciales por el método
tradicional y, cuando estábamos ya hartos de esa complejidad, nos sacó de la
chistera la transformada de Laplace: convertir ecuaciones con integrales y
derivadas en otras con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, resolverlo
todo en esa dimensión y devolver la solución al campo original……….me quedé con
la boca abierta….!fastuoso!! ....... .¿hay algo más?....me dijo el profe: hay
otra que te gustará aún más: la transformada de Fourier
Entonces no había Internet, pero me fui a la Biblioteca y
cogí todo lo que había allí relacionado con ese señor que acompañaba, como
consejero científico, a Napoleón en su expedición a Egipto…. fue un amor para
siempre: ni que decir tiene que en la carrera que elegí, Teleco, la
transformada de Fourier es uno de los pilares para casi todo
El resto del escrito está dedicado a poner dos o tres
ejemplos de sus aplicaciones más variopintas: prometo no poner nada de
telecomunicaciones, por aquello de no aburrir al personal
La transformada de Fourier como método de descubrir la causa
raíz de defectos en los sistemas rotativos:
1 Holguras en elementos rotativos
1. 1.
Desalineación en rodamientos y
cojinetes
Independientemente de que exista una buena alineación en el
acoplamiento, puede existir una desalineación entre el eje y el rodamiento. La
desalineación puede tener su origen en una distorsión en la máquina o en un
montaje inadecuado. Si una de las patas de la máquina no está en el mismo plano
que las otras o si la bancada no está plana, al apretar los pernos de anclaje
se generará una deformación y como consecuencia una desalineación. Otro ejemplo
de desalineación en rodamientos tiene lugar en ventiladores de gran tamaño
donde están montadas las cajeras de los rodamientos sobre la estructura
metálica del ventilador. Si la estructura metálica no tiene la rigidez
suficiente, se deformará bajo condiciones de carga y originará una
desalineación. Generalmente, la mayor deformación se suele producir en el
rodamiento próximo al rodete, originando una desalineación axial.
Los rodamientos de bolas o rodillos desalineados se caracterizan por presentar vibración axial independientemente del estado de equilibrado. La vibración puede aparecer a 1x, 2x, 3x RPM o al número de bolas o rodillos del rodamiento por la velocidad de giro.
La desalineación de cojinetes antifricción presentan vibración radial y axial, normalmente a 1x y 2x RPM de la velocidad de giro. La desalineación de cojinetes suele venir acompañada por desequilibrios del rotor, por lo que un equilibrado del rotor disminuirá la vibración radial y axial.
Los rodamientos de bolas o rodillos desalineados se caracterizan por presentar vibración axial independientemente del estado de equilibrado. La vibración puede aparecer a 1x, 2x, 3x RPM o al número de bolas o rodillos del rodamiento por la velocidad de giro.
La desalineación de cojinetes antifricción presentan vibración radial y axial, normalmente a 1x y 2x RPM de la velocidad de giro. La desalineación de cojinetes suele venir acompañada por desequilibrios del rotor, por lo que un equilibrado del rotor disminuirá la vibración radial y axial.
Síntomas:
- Fuerte vibración axial
en 1x RPM posiblemente con armónicos en 2x y 3x.
- El armónico 2x RPM en
dirección axial puede alcanzar un valor igual o incluso superior a 1x.
- Las lecturas de fase
axial en la parte inferior, izquierda, superior y derecha del rodamiento
aparecen desfasadas 90°.
http://www.sinais.es/Recursos/Curso-vibraciones/bajas_frecuencias/desalineacion_rodamientos.html
1.
Escuchas música en 'streaming' gracias
a esta fórmula matemática del siglo XIX
La transformada de Fourier, que data de 1822, hace posible
la música en 'streaming', la compresión de las imágenes en JPG e incluso se
emplea para ajustar la cancelación del ruido en los cascos.
La música en 'streaming' le debe mucho al hijo de un
sastre. Jean-Baptiste-Joseph Fourier, que fue revolucionario en la
Francia de 1789 y posteriormente acompañó como consejero científico a Napoleón
en su expedición a Egipto, creó en una fórmula matemática cuyo impacto está muy
presente en nuestros días.
En 1822 Fourier ya había vivido más de medio siglo de
vida intensa, incluyendo la orfandad a la edad de diez años, el
activismo revolucionario y la cárcel acompañada de un vislumbre de la
guillotina, además de expediciones científicas y puestos de responsabilidad
académica. Aquel año publicó ‘Théorie analytique de la chaleur’ y en este
tratado se encuentra la llamada transformada de Fourier.
El texto explica los descubrimientos del científico en torno
a la forma en que el calor fluye dentro de los materiales y a su alrededor. La
conclusión más destacada es que las señales complejas pueden
representarse en una serie de señales más sencillas. Con ondas sinusoides,
esto quiere decir que se pueden sumar varias ondas regulares, que ascienden y
descienden de forma constante para formar una irregular más compleja.
La física del siglo XIX, aplicada a internet
La transformada de Fourier ha
sido útil en diferentes ámbitos científicos, tecnológicos y en el
campo de la ingeniería. En la era de internet también se ha aprovechado, y se
ha exprimido especialmente en el terreno de la música. La fórmula permite
distinguir, por ejemplo, entre tres sonidos que se producen a la vez, separando
cada onda que forma el resultado final.
Cuando se graba una canción en un estudio, todas las
frecuencias de la pista se conservan intactas en el disco. Sin embargo, una
canción así pesa demasiado como para transmitirse a través de la Red, y eso
haría que el 'streaming' fuera tan aparatoso que en cuanto la conexión
flaqueara mínimamente el sonido se cortaría. No hay problema, la transformada de
Fourier acude a echar una mano.
La compresión del formato MP3 está basada en esta función
matemática. Aplicándola a una canción descubrimos que algunos componentes de la
frecuencia son muy dominantes y otros apenas quedan registrados. Para comprimir
el archivo de música solo hay que extraer las ondas que no influyen de
forma relevante en el sonido final. Quitando estas y las frecuencias que el
oído humano no percibe o percibe muy livianamente se obtiene un archivo que
pesa diez veces menos que el original.
El resultado es que la calidad del sonido apenas se ve
malograda –dejando aparte a los melómanos de oído fino– y de esta forma los
archivos se pueden transmitir sin usar tanta banda ancha.
El formato que usa Spotify, Ogg Vorbis, se crea
a partir de una versión computacional de la transformada de Fourier.
1.
Shazam, el milagro de descubrir el
título de la canción que está sonando
El funcionamiento de Shazam, la aplicación para
descubrir qué canción está sonando, también se sirve de esta fórmula para
comparar la onda extraída con su base de datos, facilitando así el proceso de
búsqueda.
2.
La compresión de imágenes en JPG
De la misma forma que el formato
MP3 comprime los archivos musicales, las imágenes en JPG son una
compresión obtenida con la transformada de Fourier. En este caso los píxeles,
cuando apenas varían, se agrupan en una sola clase de píxel, con su color,
brillo y detalle. De esta forma, para un conjunto más o menos homogéneo solo
hay que guardar información de un solo píxel. De nuevo, los sentidos
humanos –en este caso la vista– no son capaces de apreciar la diferencia.
De vuelta al sonido, la cancelación del ruido que
producen algunos auriculares o los programas de edición de audio también se
basa en esta fórmula matemática de casi 200 años: podemos evitar el
rugido de los coches o el resoplido del viento en una grabación gracias al
señor Fourier, quien por cierto fue el primero en explicar científicamente el
efecto invernadero. Pero eso es ya otra historia.
3.
Las cardioecografías de la arteria
carótida
Los ultrasonidos de
alta frecuencia en la región de 7-12 MHz., se usan para obtener imágenes de
alta resolución de las arterias que se encuentran cerca de la superficie del
cuerpo, tales como la arteria carótida. Utilizando una velocidad del sonido
nominal en el tejido de 1540 m/s, puede obtenerse la longitud de onda del
sonido en el tejido, de una onda de 7 MHz, a partir de la relación de
onda v = fλ.
Usando el principio general de imagen, de que no se puede
ver nada más pequeño que la longitud de onda, tenemos entonces un límite de 0,2
mm de resolución.
Además de imágenes de las paredes arteriales, las técnicas de
ultrasonido haciendo uso delefecto
Doppler, pueden medir la velocidad del flujo sanguíneo. El ultrasonido
reflejado está desplazado en frecuencia de la frecuencia de la fuente, y esa
diferencia en la frecuencia, puede ser medida con precisión mediante la
detección de la frecuencia
de batido entre las ondas incidente y reflejada. La frecuencia de
batido es directamente proporcional a la velocidad del flujo, por lo que el
registro continuo de las frecuencias de batido de las diferentes partes de la
arteria, da una imagen del perfil de la velocidad del flujo sanguíneo en
función del tiempo.
Los bocetos anteriores son sólo conceptuales; no se ha
intentado escala de velocidades ni colores precisos. Pero se espera que ilustre
el uso de imágenes en falso color, para dar una visión instantánea de la
distribución de las velocidades presentes. La parte inferior de la ilustración
contiene un espectro de energía modulada por la intensidad, en el que la
frecuencia de batido y por lo tanto la velocidad de la sangre está en el eje
vertical. Tales espectros son producidos por el análisis de los ultrasonidos
reflejados, mediante un proceso matemático llamado una transformada rápida de
Fourier (FFT), en la cual se extrae la distribución de potencia reflejada como
función de la frecuencia. Esto se hace de manera repetitiva y los resultados se
representan gráficamente como una función del tiempo (eje horizontal). La
distancia vertical desde el eje indica la frecuencia de batido y por lo tanto
la velocidad del flujo. La cantidad relativa de potencia reflejada a un valor
dado de velocidad, se indica por el brillo de la pantalla en ese punto. Una
velocidad uniforme de flujo único daría una simple línea brillante, por lo que
la pantalla indica en cualquier momento, una gama considerable de velocidades
presentes en el flujo. Nótese que en el momento de los picos, esencialmente la
totalidad de la sangre tiene una velocidad bastante alta, puesto que la parte
del espectro cerca del eje horizontal es oscuro.
|
Imagen de la Carótida
Este ejemplo de una imagen clínica de la carótida se tomó
durante el período de relativa calma entre los picos. Nótese que el rojo
indica un flujo más lento que el azul, pero en la misma dirección, ya que el
flujo de la carótida no se invierte. Así que la implicación de rojo y azul no
es la misma que el desplazamiento
al rojo de la luz de las estrellas en astrofísica. Nótese el fondo
de escala de grises de la imagen que se forma a partir de los datos de los
intervalos pulso-eco.
|
Si se toma literalmente la imagen de arriba, podría sugerir
una velocidad de flujo bastante uniforme en toda la sección transversal de la
arteria. Pero esta no es la naturaleza del flujo
laminar esperado, en el que se suponía un perfil de
velocidad en el cual la línea central tendría la velocidad mas alta y
luego caería a cero conforme se acerca a las paredes. Supongo que el rango rojo
de la imagen a falso color está puesto para incluir un amplio rango de
velocidades bajas.
Una frecuencia de ultrasonidos superior como 12 MHz, da una
longitud de onda más corta y por lo tanto, mayor resolución, pero esa ventaja
es parcialmente cancelada por el hecho de que las mayores frecuencias son mas
atenuadas en el tejido. Así que se debe tomar una decisión sobre las ventajas
relativas de una penetración más profunda (baja frecuencia), versus una
resolución más alta (mayor frecuencia).
Las fuentes de ultrasonidos son generalmente obleas de
cerámica templada de un material tal como PZT,
que son excitados por la aplicación de un voltaje de corriente alterna a la
frecuencia de diseño. La tensión provoca vibración mecánica por el efecto
piezoeléctrico.
Los escáneres de ultrasonido pueden detectar la acumulación
de placas en las arterias. Además de la imagen directa del estrechamiento del
vaso, la información Doppler puede ser convertida en imágenes en falso color,
que puede perfilar la velocidad del flujo. El flujo en una región de
obstrucción, debe estar a una velocidad más alta para mantener el caudal de
flujo, y esa información de velocidad es la confirmación de un estrechamiento
del vaso.
Finalmente, para los que quieran profundizar un poco
en los fundamentos de la transformada de Fourier, recomiendo el siguiente
escrito de Francisco Tapiador, de la Universidad de Valladolid:
Nota importante: no os desaniméis con las integrales que
aparecen al principio: seguid un poco y veréis que, al final, de lo que se
trata es estudiar señales complejas transformándolas en una serie de senos y
cosenos que encaja bastante bien con la señal original y que, así transformada,
es mucho más fácil de estudiar
La Transformada de Fourier (I)
Francisco J. Tapiador | Laboratorio de Teledetección.
Universidad de Valladolid y Sociedad Astronómica Syrma
Una de las herrramientas matemáticas más útiles en ciencia
es la transformada de Fourier (TF). Sus aplicaciones van desde la teoría de la
señal hasta la Climatología, pasando por la Geografía e incluso la Biología. En
relación a la Astronomía, hay muchos campos en los que es útil aplicarla. En
este artículo y en su segunda parte trataremos de dos utilidades, referentes al
campo aficionado: el análisis de series temporales y el tratamiento digital de
imágenes. En esta parte hablaremos de la primera cuestión.
A pesar de que su formulación pueda parecer difícil a
aquellos que no disfruten de una educación matemática superior, los rudimentos
de la transformada de Fourier pueden entenderse perfectamente si se pone la
atención suficiente. Hay dos fases: comprender qué es lo que se hace con una
función -pues lo que se transforma son funciones-,
visualizando de alguna manera el resultado; y después, ser capaz de utilizar
esta técnicas por nosotros mismos, para lo que no se necesita un conocimiento
más profundo: hay programas informáticos que hacen las operaciones por
nosotros. Una tercera etapa consistiría en ser capaces de manejar la TF
analíticamente, es decir, con sus expresiones matemáticas. Esta tercera etapa
requiere de una base universitaria, pero no se pretende aquí que seamos capaces
de diseñar nuestros propios filtros digitales, sino más bien que sepamos
aplicar los que ya existen.
La transformada de Fourier es una operación que se realiza
sobre funciones. Es decir, vamos a coger dos variables, la una dependiente de
la otra -una función- y la vamos a convertir en otra variable que depende de
una nueva -otra función-.
A la primera función la llamamos 
,
o si preferimos, 
.
Por definición, la transformada de Fourier de es:
,
o si preferimos, .
Por definición, la transformada de Fourier de es:
¿Qué nos dice esta expresión? Es una especie de suma
infinita -una integral- de la función de partida por el número 
elevado
a la unidad imaginaria 
que
multiplica a 
,
a la nueva variable 
que
decíamos, y a 
.
Ya tenemos otra función, 
que
depende de .
Si aplicamos una conocida equivalencia que debemos a Euler -léase óiler-, se
puede transformar lo anterior en:
elevado
a la unidad imaginaria que
multiplica a ,
a la nueva variable que
decíamos, y a .
Ya tenemos otra función, que
depende de .
Si aplicamos una conocida equivalencia que debemos a Euler -léase óiler-, se
puede transformar lo anterior en:
Lo que hemos hecho es mirar de otra manera la exponencial
elevada a un complejo. Ahora tenemos trigonometría, y es más fácil entender lo
que se le hace a la función.
Lo que Fourier demostró en realidad es que cualquier función
que cumpla una serie de condiciones razonables (las condiciones de
Dirichlet) es equivalente a su transformada. Esta condiciones
razonables se cumplen para la mayoría de las funciones con las que
vamos a topar, por lo que se puede decir que la TF se puede aplicar casi
siempre en el análisis de series temporales en Astronomía.
¿Y qué tiene de bueno que una función sea equivalente a su
TF? Lo veremos con unos ejemplos.
Supongamos que tenemos la función 
,
es decir, un polinomio sencillo, definido entre 0 y 1 por simplicidad. Si
aplicamos la TF y dibujamos el resultado en el mismo plano en que
dibujamos ,
nos queda el gráfico 1.
,
es decir, un polinomio sencillo, definido entre 0 y 1 por simplicidad. Si
aplicamos la TF y dibujamos el resultado en el mismo plano en que
dibujamos ,
nos queda el gráfico 1.
Hemos transformado una función en una suma de senos y
cosenos que encaja bastante bien con ella. Hasta aquí, poco
impresionante; la función era muy sencilla y hemos ganado poco.
Lo interesante viene cuando aplicamos la transformada a
funciones más complejas. Para una función como en
la gráfica 2, que ya no es tan trivial, tenemos que se sigue realizando un buen
ajuste, transformando una expresión polinómica en una simple suma de senos y
cosenos.
en
la gráfica 2, que ya no es tan trivial, tenemos que se sigue realizando un buen
ajuste, transformando una expresión polinómica en una simple suma de senos y
cosenos.
¿Y qué pasa si no conocemos la expresión analítica de la
función de partida?. Llegamos al quid de la cuestión. No siempre vamos a tener
polinomios, o a conocer como varía en
función de .
En las series temporales lo que tenemos es una tabla de valores, un
número, a veces muy grande, de pares de números que se pueden reflejar en una
gráfica.
en
función de .
En las series temporales lo que tenemos es una tabla de valores, un
número, a veces muy grande, de pares de números que se pueden reflejar en una
gráfica.
Figura 3. Curva de luz de una estrella variable
periódica.
Pero no sabemos qué sucede si tomamos un valor para la que
no esté en la tabla. Y precisamente, eso es lo que nos interesa: saber qué
pasará entre los valores que tenemos -interpolar- o, más interesante, más allá
de ellos -extrapolar-.
que
no esté en la tabla. Y precisamente, eso es lo que nos interesa: saber qué
pasará entre los valores que tenemos -interpolar- o, más interesante, más allá
de ellos -extrapolar-.
Si hemos realizado 200 observaciones de una estrella
variable irregular, queremos saber qué brillo va a tener el miércoles de la
semana que viene. Si hemos calculado el número de Wolf, querríamos saber cuál
va a ser el mes o el año que viene. Si hemos accedido a la web de la NASA y nos
hemos traído una tabla de temperaturas en Marte, querríamos ver qué pauta sigue
su variación para establecer un modelo. Hay que apresurarse a decir que la TF
no resuelve del todo estos problemas: es un medio de aproximarse a ellos, mucho
más eficaz que otros.
Por ejemplo, en el caso de una variable como la del gráfico
3 podríamos intentar realizar un ajuste polinómico. El error que se comete en
el mejor de los casos, con un polinomio grandecito de grado 6, es muy superior
al que se comete calculando la serie de Fourier (el ajuste con polinomios puede
hacerse con programas comunes, como Microsoft Excel o StarOffice). Si lo
intentamos con U Geminorum, con una gráfica como la de la figura 4, no vamos a
tener tanta suerte para encontrar un buen ajuste polinómico (nótese que las dos
gráficas son diferentes). Necesitamos algo operativo y más o menos automático.
Figura 4. Curva de luz de U Gem.
El cómo se calcula la TF de Fourier a partir de datos
sueltos, y no de una expresión analítica, no es complicado si no se entra en
formalismo matemático. En síntesis, lo que se hace es cambiar la integral (que
podemos ver como una suma infinita a lo largo de una recta continua) por una
suma infinita a lo largo de una recta que llamamos discreta, o sea,
discontinua. A eso se le llama serie. Se habla entonces de la serie de Fourier
de la función y de la tranformada discreta de Fourier (TDF).
La serie de Fourier tiene infinitos términos, de los cuales
en la práctica sólo podemos calcular unos pocos. Lo que sucede, a grandes
rasgos, es que según se añaden nuevos términos se gana en precisión, es decir,
la TDF se acerca más a la función origen. A éstos sumandos se les llama en la
jerga armónicos. Es decir, si decimos que la TDF de la
función es con
tres armónicos, esto quiere decir que hemos cortado a partir del cuarto
sumando. En la gráfica 5 hay tres representaciones además de la de la función,
cada uno de los cuales tiene más armónicos que el anterior. Según aumentamos el
número de sumandos, se ve cómo nos ajustamos mejor a la función.
es con
tres armónicos, esto quiere decir que hemos cortado a partir del cuarto
sumando. En la gráfica 5 hay tres representaciones además de la de la función,
cada uno de los cuales tiene más armónicos que el anterior. Según aumentamos el
número de sumandos, se ve cómo nos ajustamos mejor a la función.
Figura 5. Gráfica con sus ajustes sucesivos.
¿Cómo podemos calcular la TDF? Los programas de cálculo
simbólico, como Matlab o Maple la incluyen, por supuesto. Paquetes
estadísticos, como el SPSS la poseen también. Si nos gusta programar, podemos
intentarlo nosotros mismos: el código está en el gráfico 6 en forma de función
de C++ (hay una versión más rápida para realizar el cálculo, al Transformada
Rápida de Fourier, que veremos en otra ocasión). Se trata de un programa que
realiza las operaciones sobre imágenes, al que sacaremos mayor partido en la segunda
parte de este artículo, pero puede ser utilizado para ajustar series temporales
con pequeñas modificaciones.
Que disfrutéis lo que queda de fin de semana
Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros
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