sábado, 23 de julio de 2016

Mensajes amables de fin de semana: física de la música y la transformada de Fourier


Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:

En matemáticas, el concepto de transformada es un truco matemático para hacernos más sencillas las operaciones.
Por ejemplo, con los logaritmos transformamos una raíz cuadrada en una división, productos en sumas, divisiones en restas, potencias en productos y raíces en divisiones.

Una de los grandes descubrimientos matemáticos de todos los tiempos es la transformada de Fourier
Gracias a una serie de Fourier podemos transformar cualquier función periódica en una serie finita de señales armónicas (mucho más fácilmente de tratar matemáticamente)

De las transformadas de Fourier nacen precisamente las transformadas de Laplace o la transformada z, que por ejemplo nos permiten hacer la analogía entre una ecuación diferencial por una ecuación algebraica mucho más sencilla de resolver.
Resumiendo, la transformada de Fourier nos permite simplificar señales de la vida real que son complicadas en señales que podemos tratar matemáticamente



Para comprender la transformada, imaginemos en primer lugar una señal temporal de audio. Aunque igual te suena raro, seguro que has visto alguna señal de este tipo alguna vez, son las típicas que se van dibujando cuando hablas por un micrófono y que suben mucho si gritas. En estas gráficas el eje de abscisas (eje X, el horizontal) representa el tiempo mientras que el de ordenadas representa la presión del aire (que es como se mide el sonido).



Esta es una forma gráfica de ver un sonido (tu voz, una canción, …) Sin embargo, también habrás oído hablar de “amplificar los bajos” o “filtrar no sé qué frecuencias” y cosas así. Aquí es donde entra la transformada de Fourier.
La transformada convierte nuestra señal de un “mundo” a “otro” y después podemos volver de este otro mundo al primero. Haciendo un símil con la música, es como estar en la clave de sol y pasar a clave de fa. Ahora las notas estarán en distintas posiciones pero sonarán igual.

En este caso, y mediante un operador matemático (la transformada propiamente), pasamos del “mundo” temporal al “mundo” frecuencial. Ahora nuestra señal, que cuando estábamos en el mundo temporal tenía una forma, tendrá otra distinta, y en el eje X, en vez de tener valores del tiempo, tendremos valores de frecuencia (que no se miden en segundos sino en Herzios). Pero lo importante es que la información contenida ¡sigue siendo exactamente la misma, solo que ahora la vemos de otra forma! Nuestra señal/función temporal se ha “re-escrito” de otra forma, pero siempre podremos volver a la original.



Como puede observarse, las formas de las señales son radicalmente distintas.
¿Por qué hacer esto, entonces? ¿Por qué “re-escribir” nuestra señal en este nuevo mundo? La gracia es que este mundo frecuencial nos aporta información de una forma mucho más clara, y por eso se utiliza tanto. En la gráfica anterior podríamos decir de forma inmediata que el sonido emitido tiene más frecuencias bajas que altas, por ejemplo.
Lo que en el mundo temporal equivaldría a una nota musical que suena indefinidamente (el LA, por ejemplo) en el mundo frecuencial supondría simplemente un pico a la frecuencia equivalente de ese LA. Si ahora tocamos a la vez el DO, MI, SOL y SI, algo que en el mundo temporal sería una señal con una forma rara, en el mundo frecuencial serían simplemente cuatro picos a las frecuencias correspondientes a DO, MI, SOL y SI.



Si ahora tenemos toda una partitura, que vistas en el mundo temporal serán una locura, en frecuencia veremos perfectamente qué frecuencias está utilizando esa partitura. ¿Para qué sirve esto? La utilidad más inmediata es para tratar la señal, “jugar” con ella, en plan DJ. Si nosotros de esa partitura queremos eliminar los bajos (los sonidos más graves) podríamos pasar la señal (mediante matemáticas) al mundo frecuencial (el de Fourier), poner en cero las bajas frecuencias, después volver al mundo temporal y al escuchar la canción de nuevo, veríamos que los sonidos más bajos han desaparecido.

La escala musical y su origen


Se remonta a los griegos el estudio cuantitativo de la primera escala musical cuando, al  relacionar entre sí los sonidos emitidos por un instrumento de una sola cuerda montada en una caja de resonancia conocido como monocordio, descubren los intervalos musicales (diferencia de tonos), al variar su longitud mediante el desplazamiento de una cuña móvil. Fue Pitágoras (580-520 A.C.) quien se dio cuenta de la relación existente entre la longitud de la cuerda tensada y el conjunto de notas que emite, al pulsarla en diferentes puntos; de que existe una armonía en la música, que depende a su vez de cómo se tensen y de qué tan larga sea la cuerda (ver figura siguiente). 


Dibujo de Pitágoras experimentando con las cuerdas.

          Esta armonía surge de la adaptación evolutiva de nuestro oído a la diversidad de sonidos emitidos por los objetos en la naturaleza. Cualquier objeto cuando vibra, lo hace con su modo fundamental y con un conjunto de armónicos cuyas frecuencias de vibración son múltiplos enteros o semi enteros de la frecuencia fundamental. En consecuencia, nuestro cerebro ha evolucionado en forma tal que, aquellos sonidos que guarden una relación de frecuencia en forma de proporción simple (2/1, 3/2, 4/3…), los reconoce como sonidos consonantes y producen una sensación armoniosa y agradable al escucharlos. De esto se dio cuenta Pitágoras y por lo tanto, procedió a establecer la primera escala musical.
A partir de un minucioso estudio, Pitágoras determina que la cuerda tensada de cierta longitud (L) emite un sonido cuya sensación auditiva es exactamente igual al generado cuando se pulsa su mitad (L/2), pero con un tono más agudo de frecuencia doble; hoy en día, se conoce como la octava (L/2) de la nota inicial denominada tónica (L).  Luego, la dividió en tres partes iguales y pulsó dos tercios (2L/3) de la misma, encontrando que la cuerda emitía un sonido consonante, armonioso, es decir agradable al oído y que su frecuencia era 3/2 veces mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se conoce como la quinta.  La dividió en cuatro partes iguales y pulsó tres cuartas (3L/4) partes de su longitud, encontrando que la frecuencia de la nota era 4/3 mayor que la frecuencia de la tónica; este intervalo se denomina la cuarta. Procediendo de manera similar se obtienen los demás intervalos que se muestran en la primera columna a la izquierda de la tabla 1. En particular, para una cuerda de longitud L, el segundo intervalo se obtiene pulsando la cuerda a 2/3 de la longitud de la quinta la cual es igual a 2/3 L; es decir, a (2/3). (2/3) L = 4/9 L; como la frecuencia de la nota que da este trozo de cuerda es 9/4 f = 2,25 f y superior  a 2 f, es necesario elegir una cuerda que sea el doble de 4/9 L, es decir de longitud 8/9 L; de modo que al ser pulsada emita un tono entre f y 2f y su frecuencia será de 9/8 f = 1,125 f. En forma análoga se procede con los demás intervalos para obtener las notas musicales y completar así las siete que se conocen: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si. Por otra parte, si se elige como tónica la nota Do4 cuya frecuencia es de 261,63 Hz se puede calcular la frecuencia de cada nota como se indica en la columna número cinco de la misma tabla.

Tabla 1 
Intervalos musicales para una cuerda de longitud afinada 
con la nota Do4 (C4) =  261,63 Hz





La escala, establecida mediante este procedimiento se conoce como Escala Natural y fue obtenida a partir del tercer armónico de la frecuencia de la Tónica; es decir, la Tónica de frecuencia f se multiplicó por 3 para obtener 3f, pero como este valor es superior a 2f se debe dividir por 2 para que esté comprendido en el rango de la octava y obtener la quinta. Para las demás notas se procede como se describió antes. Por otra parte, en la columna 4 se calculó razón entre la frecuencia de la nota y la que le precede; así que las notas que guardan una relación de 9/8 están separadas un tono y las relacionadas por 256/243 están separadas medio tono o un semitono. Por consiguiente, la escala natural está estructurada por 5 tonos y 2 semitonos; aunque, para este caso, estos dos semitonos no son exactamente la mitad de un tono. Para solventar este problema se inventó la Escala Temperada, constituida por 12 semitonos (7 tonos y 5 semitonos) separados regularmente en cada octava; en el piano, los tonos son las teclas blancas y los semitonos las negras.


Construcción de la escala musical natural





La física del Cuatro venezolano
Nuestro Cuatro criollo venezolano está constituido por cuatro cuerdas de igual longitud y diferentes diámetros, montadas en un largo diapasón que termina en un clavijero cuya función es tensarlas según la nota emitida, y que se extienden desde el puente hasta la cejuela por encima de una serie de divisiones conocidas como trastes. Además tiene una caja de resonancia con embocadura en la tapa superior. Las cuerdas se afinan a una nota fija como se indica en la tabla de abajo, que pulsadas de arriba abajo emite el conocido “cam bur pin tón”. La longitud de las cuerdas se varía, presionándolas con los dedos en los trastes durante la ejecución de melodías.




La armonía musical se encuentra implícitamente establecida en todos los objetos cuando vibran, como es el caso del Cuatro criollo. Cuando una cuerda, una membrana, o una columna de aire de un instrumento musical se sacan del equilibrio mecánico mediante una perturbación (pulsándola o golpeándola), se pone a vibrar y se generan ondas que se propagan hasta sus fronteras (extremos, bordes, etc.), donde luego se reflejan. De esta forma se podrían generar ondas estacionarias si las condiciones de frontera (extremos, bordes, etc.), las dimensiones (longitud, superficie, etc.) y las tensiones (fuerzas) son las adecuadas.

  Tales ondas estacionarias se producen por la superposición (interferencia) de la ondas generadas con las reflejadas y se caracterizan porque existen puntos (líneas, o zonas) específicos del sistema que no vibran (interferencia completamente destructiva) y puntos (líneas, o zonas) que vibran con un máximo desplazamiento desde su posición de equilibrio (interferencia completamente constructiva).


       Ondas estacionarias en las cuerdas del cuatro.


Que disfrutéis cada hora del fin de semana

Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros


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