Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:
En matemáticas, el concepto de transformada es un truco matemático
para hacernos más sencillas las operaciones.
Por ejemplo, con los logaritmos transformamos una raíz cuadrada en una división, productos en sumas, divisiones en restas, potencias en productos y raíces en divisiones.
Por ejemplo, con los logaritmos transformamos una raíz cuadrada en una división, productos en sumas, divisiones en restas, potencias en productos y raíces en divisiones.
Una de los grandes descubrimientos matemáticos de todos los
tiempos es la transformada de Fourier
Gracias a una serie de Fourier podemos transformar cualquier función periódica en una serie finita de señales armónicas (mucho más fácilmente de tratar matemáticamente)
Gracias a una serie de Fourier podemos transformar cualquier función periódica en una serie finita de señales armónicas (mucho más fácilmente de tratar matemáticamente)
De las transformadas de Fourier nacen precisamente las transformadas de Laplace o la transformada z, que por ejemplo nos permiten hacer la analogía entre una ecuación diferencial por una ecuación algebraica mucho más sencilla de resolver.
Resumiendo, la transformada de Fourier nos permite simplificar señales de la vida real que son complicadas en señales que podemos tratar matemáticamente
Para comprender la transformada, imaginemos en primer lugar
una señal temporal de audio. Aunque igual te suena raro, seguro que has visto
alguna señal de este tipo alguna vez, son las típicas que se van dibujando
cuando hablas por un micrófono y que suben mucho si gritas. En estas gráficas
el eje de abscisas (eje X, el horizontal) representa el tiempo mientras que el
de ordenadas representa la presión del aire (que es como se mide el sonido).
Tales ondas estacionarias se producen por la superposición (interferencia) de la ondas generadas con las reflejadas y se caracterizan porque existen puntos (líneas, o zonas) específicos del sistema que no vibran (interferencia completamente destructiva) y puntos (líneas, o zonas) que vibran con un máximo desplazamiento desde su posición de equilibrio (interferencia completamente constructiva).
Esta es una forma gráfica de ver un sonido (tu voz, una canción,
…) Sin embargo, también habrás oído hablar de “amplificar los bajos” o “filtrar
no sé qué frecuencias” y cosas así. Aquí es donde entra la transformada de
Fourier.
La transformada convierte nuestra señal de un “mundo” a
“otro” y después podemos volver de este otro mundo al primero. Haciendo un
símil con la música, es como estar en la clave de sol y pasar a clave de fa.
Ahora las notas estarán en distintas posiciones pero sonarán igual.
En este caso, y mediante un operador matemático (la
transformada propiamente), pasamos del “mundo” temporal al “mundo” frecuencial.
Ahora nuestra señal, que cuando estábamos en el mundo temporal tenía una forma,
tendrá otra distinta, y en el eje X, en vez de tener valores del tiempo,
tendremos valores de frecuencia (que no se miden en segundos sino en Herzios).
Pero lo importante es que la información contenida ¡sigue siendo exactamente la
misma, solo que ahora la vemos de otra forma! Nuestra señal/función temporal se
ha “re-escrito” de otra forma, pero siempre podremos volver a la original.
Como puede observarse, las formas de las señales son
radicalmente distintas.
¿Por qué hacer esto, entonces? ¿Por qué “re-escribir”
nuestra señal en este nuevo mundo? La gracia es que este mundo frecuencial nos
aporta información de una forma mucho más clara, y por eso se utiliza tanto. En
la gráfica anterior podríamos decir de forma inmediata que el sonido emitido
tiene más frecuencias bajas que altas, por ejemplo.
Lo que en el mundo temporal equivaldría a una nota musical
que suena indefinidamente (el LA, por ejemplo) en el mundo frecuencial
supondría simplemente un pico a la frecuencia equivalente de ese LA. Si ahora
tocamos a la vez el DO, MI, SOL y SI, algo que en el mundo temporal sería una
señal con una forma rara, en el mundo frecuencial serían simplemente cuatro
picos a las frecuencias correspondientes a DO, MI, SOL y SI.
Si ahora tenemos toda una partitura, que vistas en el mundo
temporal serán una locura, en frecuencia veremos perfectamente qué frecuencias
está utilizando esa partitura. ¿Para qué sirve esto? La utilidad más inmediata
es para tratar la señal, “jugar” con ella, en plan DJ. Si nosotros de esa partitura
queremos eliminar los bajos (los sonidos más graves) podríamos pasar la señal
(mediante matemáticas) al mundo frecuencial (el de Fourier), poner en cero las
bajas frecuencias, después volver al mundo temporal y al escuchar la canción de
nuevo, veríamos que los sonidos más bajos han desaparecido.
La escala musical y su origen
Se remonta a los griegos el estudio cuantitativo de la
primera escala musical cuando, al relacionar entre sí los sonidos
emitidos por un instrumento de una sola cuerda montada en una caja de
resonancia conocido como monocordio, descubren los intervalos
musicales (diferencia de tonos), al variar su longitud mediante el
desplazamiento de una cuña móvil. Fue Pitágoras (580-520
A.C.) quien se dio cuenta de la relación existente entre la longitud de la
cuerda tensada y el conjunto de notas que emite, al pulsarla en
diferentes puntos; de que existe una armonía en la música, que depende a su vez
de cómo se tensen y de qué tan larga sea la cuerda (ver figura
siguiente).
Dibujo de Pitágoras experimentando con las cuerdas.
Esta armonía surge de la
adaptación evolutiva de nuestro oído a la diversidad de sonidos emitidos por
los objetos en la naturaleza. Cualquier objeto cuando vibra, lo hace con su
modo fundamental y con un conjunto de armónicos cuyas frecuencias de vibración
son múltiplos enteros o semi enteros de la frecuencia fundamental. En
consecuencia, nuestro cerebro ha evolucionado en forma tal que, aquellos
sonidos que guarden una relación de frecuencia en forma de proporción simple
(2/1, 3/2, 4/3…), los reconoce como sonidos consonantes y producen una
sensación armoniosa y agradable al escucharlos. De esto se dio cuenta Pitágoras
y por lo tanto, procedió a establecer la primera escala musical.
A partir de un minucioso estudio, Pitágoras determina que la
cuerda tensada de cierta longitud (L) emite un sonido cuya sensación auditiva
es exactamente igual al generado cuando se pulsa su mitad (L/2), pero con un
tono más agudo de frecuencia doble; hoy en día, se conoce como la octava
(L/2) de la nota inicial denominada tónica (L).
Luego, la dividió en tres partes iguales y pulsó dos tercios (2L/3) de la
misma, encontrando que la cuerda emitía un sonido consonante, armonioso, es
decir agradable al oído y que su frecuencia era 3/2 veces mayor que la
frecuencia de la tónica; este intervalo se conoce como la quinta. La
dividió en cuatro partes iguales y pulsó tres cuartas (3L/4) partes de su
longitud, encontrando que la frecuencia de la nota era 4/3 mayor que la
frecuencia de la tónica; este intervalo se denomina la cuarta.
Procediendo de manera similar se obtienen los demás intervalos que se muestran
en la primera columna a la izquierda de la tabla 1. En particular, para una
cuerda de longitud L, el segundo intervalo se obtiene pulsando
la cuerda a 2/3 de la longitud de la quinta la cual es igual a 2/3 L; es decir,
a (2/3). (2/3) L = 4/9 L; como la frecuencia de la nota que da este trozo de
cuerda es 9/4 f = 2,25 f y superior a 2 f, es necesario elegir una cuerda
que sea el doble de 4/9 L, es decir de longitud 8/9 L; de modo que al ser
pulsada emita un tono entre f y 2f y su frecuencia será de 9/8 f = 1,125 f. En
forma análoga se procede con los demás intervalos para obtener las notas
musicales y completar así las siete que se conocen: Do, Re, Mi, Fa,
Sol, La, Si. Por otra parte, si se elige como tónica la nota Do4 cuya
frecuencia es de 261,63 Hz se puede calcular la frecuencia de cada nota como se
indica en la columna número cinco de la misma tabla.
Tabla 1
Intervalos musicales para una cuerda de longitud afinada
con la nota Do4 (C4) = 261,63 Hz
Intervalos musicales para una cuerda de longitud afinada
con la nota Do4 (C4) = 261,63 Hz
La escala, establecida mediante este procedimiento se conoce
como Escala Natural y fue obtenida a partir del tercer
armónico de la frecuencia de la Tónica; es decir, la Tónica de frecuencia f se
multiplicó por 3 para obtener 3f, pero como este valor es superior a 2f se debe
dividir por 2 para que esté comprendido en el rango de la octava y obtener la
quinta. Para las demás notas se procede como se describió antes. Por otra
parte, en la columna 4 se calculó razón entre la frecuencia de la nota y la que
le precede; así que las notas que guardan una relación de 9/8 están separadas
un tono y las relacionadas por 256/243 están separadas
medio tono o un semitono. Por consiguiente, la escala natural
está estructurada por 5 tonos y 2 semitonos; aunque, para este caso, estos dos
semitonos no son exactamente la mitad de un tono. Para solventar este problema
se inventó la Escala Temperada, constituida por 12 semitonos
(7 tonos y 5 semitonos) separados regularmente en cada octava; en el piano, los
tonos son las teclas blancas y los semitonos las negras.
Construcción de la escala musical natural
La física del Cuatro venezolano
Nuestro Cuatro criollo
venezolano está constituido por cuatro cuerdas de igual longitud y diferentes
diámetros, montadas en un largo diapasón que termina en un clavijero cuya
función es tensarlas según la nota emitida, y que se extienden desde el puente hasta
la cejuela por encima de una serie de divisiones conocidas como trastes. Además
tiene una caja de resonancia con embocadura en la tapa superior. Las cuerdas se
afinan a una nota fija como se indica en la tabla de abajo, que pulsadas de
arriba abajo emite el conocido “cam bur pin tón”. La longitud de las cuerdas se
varía, presionándolas con los dedos en los trastes durante la ejecución de
melodías.
La armonía musical se encuentra implícitamente establecida
en todos los objetos cuando vibran, como es el caso del Cuatro criollo. Cuando
una cuerda, una membrana, o una columna de aire de un instrumento musical se
sacan del equilibrio mecánico mediante una perturbación (pulsándola o
golpeándola), se pone a vibrar y se generan ondas que se propagan hasta sus fronteras
(extremos, bordes, etc.), donde luego se reflejan. De esta forma se podrían
generar ondas estacionarias si las condiciones de frontera (extremos,
bordes, etc.), las dimensiones (longitud, superficie, etc.) y las tensiones
(fuerzas) son las adecuadas.
Tales ondas estacionarias se producen por la superposición (interferencia) de la ondas generadas con las reflejadas y se caracterizan porque existen puntos (líneas, o zonas) específicos del sistema que no vibran (interferencia completamente destructiva) y puntos (líneas, o zonas) que vibran con un máximo desplazamiento desde su posición de equilibrio (interferencia completamente constructiva).
Ondas estacionarias en las
cuerdas del cuatro.
Que disfrutéis cada hora del fin de semana
Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros
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