viernes, 11 de noviembre de 2016

Mensajes amables de fin de semana: La sucesión de Fibonacci, el número de oro, el ángulo de oro, la espiral de oro.....!!! la belleza de las matemáticas, simplemente observando la naturaleza!!!


Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:


La sucesión de Fibonacci

Se trata de una sucesión muy simple, en la que cada término es la suma de los dos anteriores. La sucesión comienza por el número 1, y continua con 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…, ya que 1 = 0+1; 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13… etc. Los números de Fibonacci, otro de los nombres que recibe este grupo de  valores, poseen varias propiedades interesantes.
Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la denominada “razón dorada”, “sección áurea” o “divina proporción”. Este número, descubierto por los renacentistas, tiene un valor de (1+ raíz de 5)/2 = 1.61803…, y se lo nombra con la letra griega Phi. La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.
Los griegos y renacentistas estaban fascinados con este número, ya que lo consideraban el ideal de la belleza. Un objeto que tuviese una proporción (por ejemplo, entre el alto y el ancho) que se ajustase a la sección áurea era estéticamente más agradable que uno que no lo hiciese.

La sucesión de Fibonacci y el número de oro.
 Si dividimos dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos un cociente muy próximo al número de oro. Conforme más elevados sean los números de la sucesión de Fibonacci, el cociente se irá aproximando cada vez más al valor óptimo del número de oro. Por ejemplo: 8/5 = 1.6, pero 1597/987 = 1,6180344478, el cual se aproxima aun más al 1.61803398874989 determinado como número áureo.



La sucesión de Fibonacci en la naturaleza






Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro ( dos números consecutivos de la serie de Fibonacci )



Las piñas



Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales ( dos números de la serie de Fibonacci )
las margaritas normalmente tienen 13 pétalos…….Así que si deshojas una margarita, ya sabes: ¡¡¡debes siempre empezar con el “me quiere”!!!





La sucesión de Fibonacci y la espiral de Durero:

Si tomamos los números de la sucesión Fibonacci...


Y hacemos un cuadriculado con estos números, con cada cuadrito con el valor de 1 obtendríamos algo así


a continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci



Obtenemos la espiral Fibonacci, una espiral logarítmica con un ratio de 1.618..








La espiral de Durero en la naturaleza:














La sucesión de Fibonacci y el ángulo de oro
Si una planta crece en espiral, ¿cuál es el ángulo que maximiza la cantidad de luz solar que reciben las hojas alrededor del tallo? La selección natural ha decidido premiar con mayor descendencia a aquellas plantas que han sacado mayor partido de la luz del sol y, por lo tanto, han crecido más altas y más sanas. De esta manera encontraremos más especies que han resuelto este problema de forma óptima.
Analicemos el asunto: si la planta crece en forma de espiral y el ángulo es de 90º, la quinta hoja que surgiese del tallo solaparía la primera, dándole sombra. Tampoco nos valdría 60º pues ocurriría lo mismo a la cuarta hoja. Ya estamos viendo que influye el hecho de ser un divisor de 360º y, en general, el producto de un número racional (una fracción) por 360º. Así que a la planta le interesa que los brotes nuevos surjan con ángulos irracionales, ¡y qué mejor irracional que el número áureo!
Un ángulo áureo es el ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia en proporción áurea y resulta ser de unos 137,5º.




Si un ángulo es irracional, por muchas vueltas que dé alrededor de la circunferencia, nunca regresará a la posición inicial.
Esto explica por qué muchas flores tienen un número de pétalos que coincide con la serie de Fibonacci, al igual que el número de espiras de las piñas. Recordemos que la serie de Fibonacci es la que se origina sumando los dos términos anteriores, o sea 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Ya hubo una entrada especial en este blog para la serie de Fibonacci. También debemos recordar que el cociente de dos números consecutivos de la serie de Fibonacci tiende al número de oro.  Por lo tanto, si en una planta brotan 8 hojas cada 3 vueltas, cada una de ellas surge cada 3/8 de vuelta, o sea, cada 135º, que se acerca bastante al ángulo áureo. Y si brotan 13 hojas cada 5 vueltas, entonces cada hoja emergerá cada 138,5 º.
Ejemplos de este hecho se pueden encontrar muchos.









 Pensamiento:
















Que disfrutéis cada hora del fin de semana

Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros





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