viernes, 12 de octubre de 2018

Mensajes amables de fin de semana: Lord Kelvin y Schrodinger, el principio del fin, el fin del principio



Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:

En este post pretendo trasmitir lo mejor que he encontrado en Internet sobre el nacimiento de la Mecánica Cuántica, y de su expresión más genuina, la ecuación de onda de Schrodinger
A finales del siglo XIX, Lord Thomson, la mayor autoridad científica de la época, declaró que ya no hacían falta más generaciones de físicos, porque todo estaba descubierto ….. solo quedaban un par de “nubecillas” por explicar, la radiación del cuerpo negro y el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley
Los hechos posteriores fueron contundentes: uno dio origen a la Mecánica Cuántica y el otro permitió a Einstein formular su Teoría de la Relatividad    

William Thomson
Lord Kelvin

Matemático y físico británico




Nació el 26 de junio de 1824 en Belfast.

Uno de los seis hijos que sobrevivieron a la infancia de James Thomson, profesor de matemáticas y de ingeniería en la Royal Belfast Academical Institution, y de Margaret Gardner. Su madre murió en 1830 cuando William tenía seis años.

Cursó estudios en las universidades de Glasgow y Cambridge. Entre 1846 y 1899 trabajó como profesor de la Universidad de Glasgow.


En termodinámica, desarrolló el trabajo realizado por James Prescott Joule sobre la interrelación del calor y la energía mecánica, y en 1852 ambos unieron esfuerzos en la investigación del fenómeno al que se conoció como efecto Joule-Thomson.

En 1848 estableció la escala absoluta de temperatura que sigue llevando su nombre. Estudió la teoría matemática de la electrostática, llevó a cabo mejoras en la fabricación de cables e inventó el galvanómetro de imán móvil y el sifón registrador. Fue asesor científico en el tendido de cables telegráficos del Atlántico en 1857, 1858, 1865 y 1866. Además contribuyó a la teoría de la elasticidad e investigó los circuitos oscilantes, las propiedades electrodinámicas de los metales y el tratamiento matemático del magnetismo.

Junto con el fisiólogo y físico alemán Hermann Ludwig von Helmholtz, hizo una estimación de la edad del Sol y calculó la energía irradiada desde su superficie. Entre los aparatos que inventó o mejoró se encuentran un dispositivo para predecir mareas, un analizador armónico y un aparato para grabar sonidos en aguas más o menos profundas. También mejoró aspectos de la brújula marina o compás náutico. En 1902, elabora el primer modelo atómico.

 Muchas de sus obras científicas se recopilaron en su Ponencias sobre electricidad y magnetismo (1872), Ponencias matemáticas y físicas (1882, 1883, 1890) y Cursos y conferencias (1889-1894).


Fue presidente de la Sociedad Real de Londres en 1890, y en 1902 recibió la Orden del Mérito.

En el invierno de 1860-1861 resbaló en el hielo y se fracturó la pierna, lo que le hizo cojear desde entonces.

William Thomson falleció el 17 de diciembre de 1907 en Largs, Ayrshire, Escocia. 

Lord Kelvin y “unas pequeñas nubecillas”

El concepto de cuerpo negro es muy importante tanto física como en astrofísica. Históricamente, a finales del siglo XIX y tras el trabajo de Maxwell sobre el campo electromagnético, la física había conseguido explicar prácticamente todos los fenómenos hasta la fecha, era una época de euforia para los físicos por el espectacular triunfo de la ciencia en explicar la realidad.
Lord Kelvin por entonces pronunció esta frase:
“La física es un conjunto perfectamente armonioso y en lo esencial acabado, en el que sólo veo dos pequeñas nubes oscuras: el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, y la catástrofe ultravioleta en la explicación de la radiación del cuerpo negro”
Esas dos pequeñas nubecillas fueron las mismísimas puertas del infierno a la física teórica moderna. El resultado negativo del experimento de Michelson-Morley llevó a Einstein a formular su trabajo sobre la relatividad especial, y que más tarde completó con la relatividad general. La explicación del espectro de radiación del cuerpo negro por parte de Planck, y su cuantización de la energía, abrió la tapa al mundo de la mecánica cuántica. Lord Kelvin estuvo fino, no solo en esa, sino en otras frases bastante llamativas que recomiendo al lector buscar por internet si quiere curiosear un rato.
Si dejásemos una manzana encima de una mesa en nuestra habitación, la manzana, la mesa y la habitación están a la misma temperatura, es decir, en equilibrio térmico. Fijándonos en la manzana, la cantidad de radiación que emite, debe ser igual a la cantidad de radiación que absorbe, es por eso que su temperatura no varía. Si en ese momento cogiésemos la manzana y la metiésemos en el congelador, justo en ese instante, la radiación que emite la manzana es la misma que estaba emitiendo en la habitación, sin embargo el congelador emite mucha menos radiación al estar a menor temperatura, es por eso que el balance de energía en la manzana es negativo, emite más de la que recibe, disminuirá su temperatura, reduciendo la cantidad de radiación que emite conforme su temperatura disminuye hasta que iguale la del congelador, en ese momento se habrá vuelto a igualar en la manzana la relación emisión-absorción de radiación y habrá alcanzado nuevamente el equilibrio térmico a la temperatura del congelador.




Sin embargo, la manzana no absorbe toda la radiación que incide sobre ella, sabemos que es roja porque parte de la luz que le llega, concretamente la luz roja, se refleja en su superficie y nos llega a los ojos, mientras que toda la demás es la parte que puede absorber la manzana. Esto no significa que necesariamente la manzana tenga que emitir solo las frecuencias de radiación que ha absorbido. El proceso consiste en que la radiación que absorbe, en este caso todas las frecuencias menos el rojo (que lo refleja), se incorpora a la energía interna o térmica de la manzana, pudiendo después volver a ser emitida en cualquier otra frecuencia.
Un cuerpo negro es un objeto que absorbe toda la radiación que incide sobre él. Cuando vamos por la calle un día soleado y llevamos una camiseta negra notamos que el color negro se calienta mucho más, intuitivamente todos sabemos que los colores oscuros absorben mejor la radiación. Sin embargo el porcentaje de absorción que puede tener un material con una pintura ordinaria ronda el 80% en longitudes de onda del visible y mucho menor en otras partes del espectro.




Esquema de un cuerpo negro
Es por tanto una buena idealización suponer que un cuerpo negro es una cavidad en la que practicamos un pequeño agujero comparado con la superficie total del cuerpo, y por la que introducimos radiación. La radiación rebotará en las paredes del cuerpo infinidad de veces, y aunque en cada choque solo se absorba el 80%, o el 60% o menos, tarde o temprano toda la energía será absorbida por las paredes. Si consideramos que ese cuerpo está en equilibrio térmico, es decir, está a una temperatura constante, no queda más remedio que ese cuerpo emita, y salga por el agujero la misma cantidad de energía que la que le estamos metiendo, de no ser así estaría aumentando su temperatura al recibir más radiación de la que suelta. Por tanto, un cuerpo negro, cuando está en equilibrio termodinámico, absorbe toda la radiación que incide sobre él, y emite tal cantidad de energía (aunque sea negro).
El espectro de emisión de un cuerpo negro (el espectro que podemos medir mirando por ese agujerito), depende exclusivamente de su temperatura, y tiene una forma muy característica. Por los tiempos del discurso de Kelvin, los modelos teóricos de cómo debía ser el espectro de emisión del cuerpo negro no conseguían explicar esta emisión. Si bien en la zona de frecuencias cortas los modelos se ajustaban bastante bien a lo observado, en la zona del ultravioleta los modelos predecían una mucho mayor emisión de la que se observaba, de hecho, según estos modelos la emisión tendía a infinito en esta zona del espectro. Esto fue llamada la catástrofe ultravioleta, esa pequeña nubecilla de la que hablaba Kelvin.




Comparación de los resultados experimentales con lo predicho por las teorías clásicas
Planck, suponiendo una cuantización (mecánica cuántica, ¿te suena?) de los estados energéticos posibles, dió con la tecla para explicar el espectro de emisión del cuerpo negro, la llamada Ley de Planck:




Espectro de radiación de un cuerpo negro a diferentes temperaturas.




La característica fundamental de esta expresión es que la emisión de un cuerpo negro, a una longitud de onda, depende exclusivamente de la temperatura. Es decir, dos cuerpos negros a igual temperatura, con formas, tamaños y composición diferentes, tendrán exactamente el mismo espectro (aunque dependiendo de su superficie, uno mayor emitirá más energía, pero con la misma forma espectral). Otra característica importante es que el máximo de emisión varía también con la temperatura, y cuanto mayor sea, mayor es la frecuencia de ese máximo (y menor la longitud de onda), es la llamada Ley de desplazamiento de Wien, observada experimentalmente y que podía ser ahora deducida de la Ley de Planck  . Es por eso que una barra de hierro a temperatura ambiente no parece emitir, solo la luz que refleja. Si esa barra está en un habitación oscura no la podemos ver, ya que las longitudes de onda en las que emite están en el infrarrojo y no son visibles por nuestros ojos, solo por cámaras de infrarrojos. Sin embargo si esa barra se va calentando, llegará un momento en el que empezará a brillar, es decir, empieza a emitir más energía en longitudes de onda que si podemos ver. Conforme se vaya calentando pasará de ser roja a azul, y a la vez más brillante. (Aunque una barra de hierro no es un cuerpo negro, y por lo tanto su espectro no es el de un cuerpo negro, si que se parece bastante).
Aunque el propio Planck, con su hipótesis sobre la cuantización de la energía, aseguraba que esta técnica solo era una argucia matemática para poder explicar el espectro del cuerpo negro, trabajos posteriores, como la explicación del efecto fotoeléctrico por Einstein bajo la hipótesis de Planck, fueron asentando este concepto que quedó permanentemente fijado a la física tras el desarrollo de la mecánica cuántica.

Ecuación de onda de Schrödinger

El físico austríaco, Erwin Schrödinger, desarrolló en 1925  la conocida ecuación que lleva su nombre. Esta ecuación es de gran importancia en la mecánica cuántica, donde juega un papel central, de la misma manera que la segunda ley de Newton en la mecánica.
Fue entre 1925 y 1930, cuando apareció la teoría de la mecánica cuántica, de la mano de un grupo de investigadores, donde destacaba Erwin Schrödinger. Esta teoría fue importante, no sólo por su relevancia e importante papel en la ciencia, sino también por la gran cantidad de conceptos científicos implicados en ella.




Son muchos los conceptos previos implicados en la ecuación de Schrödinger, empezando por los modelos atómicos. Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, todos ellos contribuyeron al modelo atómico actual, ideado por Erwin Schrödinger, modelo conocido como “Ecuación de onda”. Esta es una ecuación matemática que tiene en consideración varios aspectos:
  • La existencia de un núcleo atómico, donde se concentra la gran cantidad del volumen del átomo.
  • Los niveles energéticos donde se distribuyen los electrones según su energía.
  • La dualidad onda-partícula
  • La probabilidad de encontrar al electrón
A inicios del siglo XX se sabía que la luz podía comportarse como una partícula, o como una onda electromagnética, según las circunstancias, siendo el 1923, cuando De Broglie generalizó la dualidad a todas las partículas conocidas hasta el momento, proponiendo la hipótesis de que las partículas pueden ir asociadas a una onda, hecho que se comprobó experimentalmente cuatro años después, al observarse la difracción de electrones. En el caso de los fotones, De Broglie relacionó cada partícula libre con una energía E, con una cantidad de movimiento p, una frecuencia ν, y una longitud de onda λ, relacionándolas de la siguiente manera :
E = h ν
p = h / λ
Clinton Davisson y Lester Germer, realizaron la comprobación experimental, mostrando la longitud de onda relacionada a los electrones según la difracción siguiendo la fórmula de Bragg, que como había predicho De Broglie, se correspondía con la longitud de onda de su fórmula.
Schrödinger trató de escribir una ecuación siguiendo la anterior predicción de De Broglie pero reduciendo las escalas macroscópicas e la ecuación de la mecánica clásica, expresandose la energñia mecánica total como:
E= p^2 / 2m + V ( r )
Max Born dio una correcta interpretación física para la función de la función de Schrödinger en 1926, sin embargo el carácter probabilístico introducido por Schrödinger provocó mucha desconfianza en los físicos, incluso aquellos con renombre, como por ejemplo, Albert Einstein.
La solución de esta ecuación, fue la función de onda, siendo ésta, una medida de probabilidad de encontrar al electrón en un espacio, conocido como orbital.
Las funciones de onda se transforman con el tiempo, siendo su evolución temporal estudiada en la famosa ecuación del físico austríaco.
Otros conceptos utilizados por Schrödinger se basan en la óptica y la mecánica, y el paralelismo de ambas.
A inicios de los años 30, Born le dio una interpretación probabilística distinta a la función de onda a la que De Broglie y Schrödinger habían dado, lo que le supuso el premio Nobel. En este trabajo, Born vio mediante formulas matriciales de mecánica cuántica, que los conjuntos cuánticos de estados, de manera natural construían espacios de Hilbert, para poder representar los estados físicos en cuántica.
Actualmente la ecuación se formula según la mecánica cuántica, donde el estado en un instante t, de un sistema definido por un elemento │Ψ ( t ) > en el espacio de Hilbert, y usando la notación de Dirac , se pueden representar todos los resultados posibles de todas las medidas de un sistema.
Con la ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de │Ψ ( t ) > :
La ecuación también tiene limitaciones:
-No es una ecuación relativista, solamente puede describir partículas que tengan un momento lineal pequeño en comparación con la energía que tenga en reposo dividida por la velocidad de la luz.
-Esta ecuación no añade el espín en las partículas adecuadamente. Fue Dirac, más tarde, quien incorporó los espines a la ahora conocida como ecuación de Dirac, introduciendo además efectos relativistas.


Sacando al gato de Schrödinger de su caja: ¿qué es eso de “cuántico”?

Cuentan que Schrödinger, ante la inquietud de la extraña naturaleza cuántica que él mismo ayudó a describir prefirió pasarse a la biología. Pero no sin dejar, antes, una de las metáforas más célebres de la historia para la posteridad



Fuente: Shutterstock

A estas alturas, el pobre gato de Schrödinger debe estar más que harto de salir en cualquier conversación con tintes intelectuales. El problema es que mucha gente no termina de entender qué significa este experimento. O para qué sirve. Sin embargo, los físicos siguen jugando con la realidad íntima de nuestro universo, descubriendo cada vez más detalles de lo extraordinario que resulta. Vamos a empezar por el principio del camino. Antes comenzar a andar, habéis de saber que nos introducimos en un terreno increíblemente difícil, lleno de hipótesis y sujeto a muchas incógnitas. Así que nosotros vamos a usar el camino fácil, para que a todos les pueda resultar un paseo.
  1. ¿Qué demonios es el gato de Schrödinger?
  2. No me lo creo, no tiene sentido
  3. La ecuación que lo define todo
  4. Cuando la realidad y la teoría se tocan
¿Qué demonios es el gato de Schrödinger?
El dichoso gato de Schrödinger no es ni más ni menos que un ejemplo. Una metáfora que trata de explicar un hecho natural que no podemos comprender de manera lógica. Para nosotros, que vivimos en un mundo en el que el sol nos calienta todos los días, los objetos permanecen en su sitio y las cosas nos golpean si chocamos con ellas, es muy difícil comprender (o incluso aceptar) este hecho. Vayamos por partes. Si un día nos convirtiésemos en físicos (y estuviésemos un poco locos) y nos diese por diseñar un experimento para demostrar la naturaleza "cuántica" de las cosas, probablemente diseñaríamos un interruptor especial. Este interruptor es activado por una partícula que se comporta de manera "cuántica", lo que en este caso tiene el 50% de posibilidades de desintegrarse. Si se desintegra, el interruptor se activa y enciende un maquiavélico mecanismo que hace estallar una botella de veneno. Todo esto lo metemos en una caja opaca, junto con un gato. El pobre animal, según las leyes cuánticas, de las que hablaremos más adelante, tiene el 50% de posibilidades de estar vivo o estar muerto, ya que está sujeto a la probabilidad de que la partícula se desintegre, ¿verdad?.




Sin embargo, las leyes cuánticas explican que en realidad, el átomo está en estado intacto y desintegrado al mismo tiempo (a esto se le llama superposición cuántica). Solo al mirar la partícula podremos saber en qué estado se encuentra en ese momento. Pero para eso está el gato, que hace de referencia. Por lo tanto, hasta que miremos, el gato está vivo y muerto a la vez. El ejemplo podría haber sido con tartas de manzana o con pingüinos y batidoras, y daría lo mismo. Lo importante no es el gato, es la partícula. Lo que ocurre es una acción que se denomina colapso. Es algo así como que al mirar el estado de la partícula (a través del gato), fastidiamos la propiedad cuántica que tiene y solo podrá materializarse en un estado (vivo o muerto). Pero antes de mirarlo, sabemos que está vivo y muerto a la vez. ¿Y cómo puede ser esto? Es algo tan contrario a nuestra intuición que es imposible de comprender. Tan solo podemos aceptarlo. Pero, ¿por qué deberíamos hacer tal cosa?

No me lo creo, no tiene sentido
Lo admito, el ejemplo tiene truco. Da igual el sistema cuántico que exista detrás del mecanismo que matará al pobre gato. El problema es que el propio sistema y el mismo gato no se comportan como un algo cuántico. El gato, casi con total probabilidad, estará muerto cuando miremos (es lo que pasa cuando llevas tanto tiempo en una caja sin que nadie se atreva a mirar qué hay dentro). Al fin y al cabo, es solo una metáfora. Pero explica lo que ocurre con la partícula, la cuál sí que está y no está al mismo tiempo, sin lugar a dudas. Cuando nos metemos en el mundo atómico, las propiedades de las cosas se rigen por efectos que no son nada sencillos. Aquí es donde entra la probabilidad. Normalmente pensamos en los átomos como masas de bolas de materia unidas. Pero en realidad no son así. Por ejemplo, el electrón. No es una bola "con forma de rayos" ni un puntito En las partículas infinitamente pequeñas las cosas funcionan solo por probabilidad y estadísticaflotante. En realidad, el electrón en sí existe en una zona (que se llama orbital) donde tenemos cierta probabilidad de encontrarlo.
Es decir, existe la probabilidad de encontrar uno de tus electrones dónde estoy yo. Pero es tan ínfima que, sinceramente, es imposible. Sin embargo, existe una probabilidad del 99,99999 periodo, de encontrarlo en una zona en particular (el orbital). Dentro de esa zona, que tiene una forma geométrica característica, podremos encontrar al electrón en un punto concreto con cierta probabilidad, y que nunca se está quieto. Ahora imagínate los infinitos electrones que existen en el universo funcionando así. Y ahora, date cuenta que solo te estoy hablando de un electrón. He dejado aparte todo lo demás (y es mucho). Con todo esto, lo que quiero decir es que en el mundo cuántico no es tan fácil como buscar una pelota de tenis en una caja. Todo funciona por probabilidad y estadística. Al igual que el maldito interruptor y el dichoso gato. Por supuesto, esto parece una locura. Pero tenemos pruebas que nos han demostrado que esto es así.

La ecuación que lo define todo
Más allá del gato de Schrödinger, lo que hizo este físico fue formular una de las ecuaciones más importantes de nuestra historia: la ecuación de Schrödinger. Ésta fórmula básica explica muchos de los fenómenos que ocurren. Es algo parecido a la segunda ley de Newton para la mecánica clásica, pero hablando de mecánica cuántica. Para que nos entendamos, la ecuación se Schrödinger contiene todas las propiedades e información de cualquier partícula. Esta ecuación es una función de onda capaz de describir el estado de una partícula: energía, posición... Probablemente no exista una manera más perfecta de definir lo que es una cosa. Por desgracia, no todos los valores pueden medirse simultáneamente.
No podemos saber al mismo tiempo con qué fuerza y velocidad viaja una partícula y dónde está exactamente. Lanza una pelota de tenis contra alguien que te cae realmente mal. Ahora detén el tiempo. La pelota estaba llegando contra la cara sorprendida de tu enemigo. Viéndola parada en el aire puedes saber dónde está exactamente. También puedes intuir donde golpeará si compruebas la dirección desde el punto de dónde la lanzaste hasta dónde está ahora. Pero, ¿con qué fuerza iba? ¿Con qué velocidad? No puedes saberlo, porque el tiempo está parado. Volvamos a ponerlo en marcha. Ahora, golpea rápidamente en la pared (qué mala puntería) y rebota a gran velocidad. Podemos medir con qué fuerza está desplazándose, pero no donde está, porque en el momento en el que lo miremos, ya estará en otro sitio.
Este pequeño ejemplo es bastante simplista y no explica lo que ocurre en realidad a nivel cuántico. Pero puede valer para comprender una cosa que describió Heisenberg. Este otro físico enunció el principio que lleva su nombre (y que puede que te suene por Breaking Bad). En él se describe justo esto de lo que hablábamos: no podemos conocer a la vez la posición y "la fuerza" de una partícula que se mueve a nivel cuántico. Y es que la propia medición altera el sistema (como cuando paramos el tiempo). Esto es mucho más complejo, pero la noción básica es esta. Ahora volvamos con el gato de Schrödinger. Bohr, el culpable de que pienses que los átomos son bolas (y un increíble físico), junto a Heisenber y Born describieron la llamada Interpretación de Copenhage, la cual ayuda a comprender lo que ocurre a nivel subatómico y cuántico pero con un lenguaje ordinario. De esta reconciliación de dos naturalezas tan distintas surge la idea de que el mundo de la mecánica cuántica es "interpretable" pero no comprensible a nivel cotidiano. Y no es la única interpretación, pero es la más ortodoxa hasta el momento.

Cuando la realidad y la teoría se tocan
Decíamos antes que esto no es fruto de una mente fantasiosa. Que hay pruebas que confirman estas hipótesis. Por ejemplo, de toda esta información se obtiene una conclusión: la luz, como los electrones, tendrá una naturaleza de onda, que explicábamos antes. Y también habrá de tener características de partícula. Pero nadie puede coger la luz con las manos, ¿verdad? El experimento de Young, o de la doble rendija, muestra como la luz se comporta como ondas en una balsa de agua, como partículas unidas, al atravesar varias rendijas en varias paredes, lo que se llama "interferencia". Al final, lo que nos queda es una imagen de luz que forma rendijas, como resultado. Es un experimento sencillísimo y clarificador. Otros, mucho más complejos, se han llevado a cabo a lo largo de estas décadas, comprobando una y otra vez la inquietante naturaleza cuántica. Sabemos que esto ocurre a nivel pequeñísimo, de acuerdo. ¿Pero en qué nos afecta? Un reciente estudio mostraba que tal vez más de lo que nos atrevemos a admitir.




Tomando moléculas de 430 átomos, que miden unos 6 nanometros (más que algunas proteínas de nuestro cuerpo) sufren el mismo efecto de interferencia ¡al pasarlas por una rendija!. Es decir, actúan de manera "cuántica", pero son moléculas que podemos aislar y concentrar. ¿Hasta dónde llegará esta superposición cuántica? Hay quién cree que sus efectos podrían alcanzar a otras partículas tales como virus. No obstante, para nosotros esta naturaleza estará siempre vetada. Otro reciente estudio mostraba una realidad aún más difícil de entender.
Al igual que medir algo "cuántico" provoca que su estado se colapse, es decir, que veamos al gato vivo o muerto (y no vivo y muerto al mismo tiempo), esto mismo ocurre en la realidad cuando las partículas interactúan con su entorno. A esto lo llamamos "decoherencia". Pues bien, el estudio demuestra que la gravedad es el gran asesino del gato de Schrödinger. Y es que bajo la gravedad, las partículas tienden a escoger "un estado", en vez de su naturaleza dual (sufriendo decoherencia). Así que aunque pudiésemos observarlas sin estropear el sistema (como con la pelota de tenis), la gravedad se encargaría de que fuese imposible. La naturaleza cuántica (y relativista) es increíblemente compleja y muy contra-intuitiva. Pero está ahí, manifestándose cada día. Para desgracia para el pobre gato de Schrödinger.





La explicación que más me gusta sobre la ecuación de Schrodinger

Desde un principio se supo que el primer gran paso dado por Louis de Broglie con su sugerencia de que así como la luz manifestaba aspectos tanto de partícula como de onda electromagnética del mismo modo se podía esperar que la materia también manifestase una dualidad onda-partícula era tan solo el preludio de algo más grande aún por venir. Si toda la Mecánica Ondulatoria se hubiese reducido únicamente a la fórmula λ.=.h/mv, posiblemente aún estaríamos trabajando con la Mecánica Matricial de Heisenberg. El hecho de que la luz se comportase como una onda electromagnética fue lo que posibilitó a James Clerk Maxwell para que desarrollase la teoría clásica de la electrodinámica basada en sus cuatro ecuaciones fundamentales a partir de las cuales se puede obtener la explicación para cualquier fenómeno de índole eléctrica, magnética, o electromagnética (campos eléctrico y magnético combinados, como en una onda de luz). Del mismo modo, había razones fundamentadas para suponer que, así como para la luz había una ecuación de onda electromagnética, una ecuación diferencial de segundo orden de enorme importancia que fue capaz de predecir la posibilidad de las transmisiones de radio, televisión y telefonía celular, debía de existir también una ecuación diferencial que pudiese resumir la dualidad de la materia como onda y como partícula explicando una gran variedad de fenómenos a nivel sub-microscópico. La relación de De Broglie es útil para una partícula que se mueve en una región de energía potencial V constante, y al mantenerse la energía potencial constante la longitud de onda λ de la onda de materia también se mantiene constante. Pero esto apenas alcanza a cubrir una clase sumamente limitada y restringida de problemas. En muchos casos, la partícula no se mueve en una región de potencial constante. Tal es el caso de una partícula con carga eléctrica negativa como el electrón que se está aproximando a una partícula con carga eléctrica como el protón. Hay una fuerza de atracción eléctrica entre ambas partículas, y un electrón moviéndose en la cercanía de un protón experimentará una aceleración adquiriendo más energía cinética de movimiento; por lo tanto su longitud de onda De Broglie λ no permanecerá constante sino que irá disminuyendo al ir aumentando la energía, teniéndose una situación en la que la longitud de onda λ de la partícula debe ser reemplazada por una función como λ(x). Debe de haber alguna ecuación que sea capaz de describir el comportamiento de partículas que se están moviendo no en una región de energía potencial constante V sino en una región de potencial variable V(x), ¿pero cuál puede ser esa ecuación? Tras la propuesta de Louis de Broglie se inició una carrera frenética para tratar de dar con dicha ecuación, y le tocó al físico vienés Erwin Schrödinger el mérito de ser el primero en descubrirla en 1926, dándola a conocer al mundo en una serie de cuatro trabajos titulados Quantisierung als Eigenwertproblem (“Cuantización como problema de eigenvalores”). Esto suena muy parecido a los autovalores de las matrices usadas en la Mecánica Matricial para representar valores físicos. Sin embargo, no lo es, empezando por el hecho de que el trabajo de Schrödinger se sustentó directamente sobre la hipótesis de Louis de Broglie, llevándolo a trabajar con ecuaciones diferenciales en lugar de trabajar con matrices. Mientras que la Mecánica Matricial utilizaba matrices como operadores, la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger utilizaba diferenciales como operadores, actuando sobre una función de onda Ψ. La notación ha cambiado mucho desde que Schrödinger publicó sus primeros trabajos, a grado tal que un estudiante contemporáneo de Mecánica Cuántica se podrá sentir incómodo al no reconocer una buena parte de lo expuesto por Schrödinger, pero la idea central sigue siendo esencialmente la misma.

Hablando en el sentido estricto de la palabra, la ecuación de Schrödinger para ondas de materia no puede ser derivada de axiomas o postulados más sencillos, sólo se pueden dar argumentos de plausibilidad para su obtención que pueden ser confundidos con una derivación formal.

El punto de partida para la obtención de una ecuación que sea capaz de poder describir ondas de materia es, desde luego, la relación propuesta por Louis de Broglie:

Como un primer postulado para la obtención de la ecuación que estamos buscando, exigimos que dicha ecuación sea consistente con la fórmula de De Broglie.

Como un segundo postulado que está en cierto modo relacionado con el primero, pediremos que la función que describe la forma matemática de la onda asociada con una partícula cuya longitud de onda de De Broglie es λ sea una función trigonométrica sinusoidal, por ejemplo una función seno, siendo la justificación de este requerimiento el hecho de que una función sinusoidal es la función oscilatoria más sencilla para la cual es posible definir una longitud de onda constante. En analogía a las funciones de onda que encontramos en la física clásica (acústicas, electromagnéticas, etc.), para el caso de ondas de materia postulamos una función de onda, usualmente simbolizada en la actualidad ya sea como ψ o como Ψ (hay cierta preferencia al uso de la letra griega psi minúscula para simbolizar funciones de onda que dependen de una sola variable que generalmente es una de las coordenadas usadas -ψ(x)- y la letra griega psi mayúscula para simbolizar funciones de onda que dependen de dos o más variables -Ψ(x,t)-, aunque esta costumbre no es mandatoria y a fin de cuentas ambas simbolizaciones son igualmente válidas en cualquier caso. Entonces, para una partícula moviéndose a lo largo de la coordenada-x con una longitud de onda De Broglie λ, podemos tomar como función de onda la siguiente expresión:



Obsérvese que λ es realmente la longitud de onda de esta onda sinusoidal, ya que si el valor de x se incrementa en una cantidad λ (a x+λ ) entonces el argumento de la función seno se incrementa en 2π de modo tal que el seno recorrerá un ciclo completo de la onda. Obsérvese también que esta función es válida únicamente para una partícula que se mueve a una velocidad constante para todas las posiciones a lo largo de la coordenada-x en donde está definida, o sea para una partícula con una longitud de onda λ constante, ya que no es consistente hablar de una longitud de onda que varía significativamente con la posición al no estar definido dicho concepto (si hay duda alguna en esto, hágase un bosquejo en un papel de una función oscilatoria en la cual las oscilaciones se vayan acercando más y más en cierta dirección positiva o negativa a lo largo del eje horizontal, y trátese de definir un valor para λ sobre dicha función oscilatoria).

Como un tercer postulado, echaremos mano de uno de los preceptos más fundamentales de la ciencia, el principio de la conservación de la materia y la energía. Exigimos que la ecuación de onda que estamos buscando para ondas de materia obedezca la ley de la conservación de la energía, esto es, que la suma de la energía cinética o energía de movimiento K de la partícula y su energía potencial V sea igual a la energía total E de la partícula: 
K + V = E
Puesto que la energía cinética de la partícula, expresada en términos de su masa y su velocidad, está dada por la relación:


podemos escribir el postulado para la conservación de la energía de la siguiente manera:


De la relación de De Broglie dada arriba, puesto que la velocidad de la partícula es igual a:


tenemos entonces lo siguiente:


que podemos escribir de la siguiente manera:


Si estamos tratando de obtener una ecuación diferencial que tenga como solución una función de onda sinusoidal como la expresión dada arriba para ψ(x), lo primero que tenemos que hacer es generar algunas derivadas. La derivada de primer orden viene siendo:


mientras que la derivada de segundo orden viene siendo:


Por lo tanto, substituyendo en el lado derecho la expresión para la función matemática ψ(x):


Substituyendo aquí lo que habíamos obtenido arriba del principio de la conservación de la energía para 1/λ², obtenemos la ecuación de onda tentativa que estamos buscando:


Esta ecuación es válida para una partícula que se mueve en una región en la cual su potencial es constante.

Formularemos ahora un cuarto postulado. Daremos un “salto de fé” y supondremos que la ecuación que hemos obtenido es válida no sólo en una región en donde el potencial V es constante, sino en una región en donde el potencial V varía a lo largo de la coordenada-x, esto es, el potencial es una función V(x). Al hacer esto, obtenemos lo que esencialmente podemos considerar como la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo:


Podemos simplificar esto un poco más si recurrimos a la h reducida de Diracħ = h/2:



Vale la pena repasar lo que ha ocurrido aquí. Antes de que Schrödinger llevara a cabo la formulación de su ecuación de onda para ondas de materia, se sabía ya gracias a los experimentos de Davisson y Germer que la relación de De Broglie λ.=.h/mv era cuantitativamente correcta para describir el comportamiento de una partícula sub-microscópica moviéndose a una velocidad constante en una región de potencial aproximadamente constante. Lo que quería Schrödinger realmente era tratar el caso de partículas moviéndose a una velocidad variable. No podía hacerlo limitándose simplemente a la relación λ.=.h/mv puesto que esta relación carece de sentido para una partícula cuya velocidad (y por lo tanto su longitud de onda λ) no se mantiene constante. Pero en la ecuación diferencial para un potencial constante V que obtuvimos arriba no aparece en lo absoluto la velocidad de la partícula, sólo aparece la cantidad relacionada V. Era por lo tanto consistente para él generalizar dicha ecuación diferencial reemplazando el potencial constante Vcon un potencial variable V(x) que supuestamente debe corresponder al caso de una partícula moviéndose no a una velocidad constante sino a una velocidad variable. La única justificación que se le podía dar este “salto de fé” era la corroboración experimental. Resta decir que en las más de ocho décadas que han transcurrido desde que Schrödinger adoptó esta generalización, millares de experimentos conducidos bajo todo tipo de condiciones rigurosas y extenuantes han confirmado la validez del “cuarto postulado”.

Por último, un link precioso, que NO necesita fórmulas para explicar de forma elegante lo que implica la ecuación de onda de Schrodinger

Una preciosa explicación sin fórmulas

Hoy finalizamos la discusión sobre la ecuación de onda de Schrödinger, dentro de la serie Cuántica sin fórmulas. Antes de seguir puedes leer la primera parte o mejor aún, si no lo has hecho, empezar desde el primer artículo de la serie. Partimos de conceptos que, si no conoces, pueden confundirte.
En la parte I de este artículo hablamos sobre la elaboración de la ecuación en sí, y algunas de las preguntas y reacciones que suscitó. En la segunda parte nos dedicamos a especular acerca de la naturaleza de la función de onda, con especial énfasis en la interpretación probabilística de Born, de gran éxito experimental. Hoy veremos cómo, para desánimo de los enemigos de las relaciones de indeterminación de Heisenberg, éstas aparecen meridiana e inevitablemente cuando se acepta como válida la ecuación de Schrödinger. No hay escapatoria.
El primero en demostrar matemáticamente que las relaciones de Heisenberg eran inevitables a partir de la formulación de Schrödinger fue el físico y matemático estadounidense Howard P. Robertson en 1930, pocos años después de la publicación de los artículos de aquél. De hecho, el propio Schrödinger “refinó” la relación matemática obtenida por Robertson, de modo que se la conoce como relación de Robertson-Schrödinger. Sí, como ves estos físicos no tenían reparos en aceptar conclusiones que no les gustaban - lo que querían era saber la verdad de las cosas, aunque se opusiera a lo que ellos deseaban que fuera la verdad última. Muchos deberían aprender de ellos.
La relación de Robertson-Schrödinger incluye como un caso concreto las relaciones de indeterminación de Heisenberg. Por supuesto, aunque esto se puede demostrar matemáticamente, dada la naturaleza de esta serie y el elevado nivel de las matemáticas involucradas, aquí vamos a hacer lo que hacemos siempre: explicarlo en términos sencillos y sin necesidad de emplear fórmulas matemáticas. Eso sí, si quieres elevadas disquisiciones sobre el asunto éste no es el lugar adecuado. Ser “antes simplista que incomprensible”, como es nuestro propósito, tiene una parte buena pero también una mala (el propio hecho de ser simplista). Avisado estás para cuando hable de “apretar ondas infinitas” y cosas así.
Para entender por qué la función de onda implica la indeterminación de Heisenberg hace falta recordar algunos conceptos explicados en artículos anteriores de la serie, y también entender algunas ideas básicas sobre ondas (estoy convencido de que los ingenieros de telecomunicaciones y similares no tendréis el más mínimo problema para entenderlo).
Como espero que recuerdes, en su hipótesis Louis de Broglie había propuesto que las partículas materiales, como los electrones, tienen una longitud de onda asociada que depende de su momento lineal (y por lo tanto de su velocidad): cuanto más rápido se mueve la partícula, más corta es la longitud de onda. Conocida la longitud de onda, puedo calcular la velocidad de la partícula.
Sin embargo, en el artículo en el que hablamos de la hipótesis de de Broglie consideramos ondas “perfectas”, como hacía el propio Louis de Broglie, es decir, ondas armónicas simples indefinidas. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger pueden ser ondas de muy diversa índole, y muchas de ellas no son “perfectas”. Y esta distinción hace que la hipótesis de Louis de Broglie no pueda ser considerada sólo respecto al valor de la longitud de onda, sino que puede producir un intervalo de valores de la longitud de onda.
La cuestión es que no todas las ondas tienen una longitud de onda bien definida. La longitud de onda es la distancia que separa las crestas (o los valles) de una onda, pero no todas las ondas tienen una distancia fija, ni siquiera crestas de la misma altura en todas partes. Algunas sí tienen una longitud de onda perfectamente definida, como este tren de ondas infinitamente largo (los puntos suspensivos indican que esto continúa hasta el infinito):




Disculpas por el pobre dibujo. Desde luego, cuando publiquemos la serie en forma de libro, Geli se encargará de hacer las ilustraciones para que sean más profesionales; por ahora tiene que valer éste que, por otro lado, debería servir para entender lo que quiero decir. Sólo es posible definir perfectamente la longitud de onda cuando la onda es infinita.
Un caso muy diferente del dibujo de arriba es una onda muy localizada en el espacio, como un pulso de este tipo:





Desde luego, al resolver la ecuación de Schrödinger para condiciones distintas (como diferentes experimentos con un electrón) pueden obtenerse ondas similares a los ejemplos de estos dos dibujos (aunque se trata de ondas complejas, por supuesto). La cuestión, naturalmente, es interpretar qué diablos significa que la onda de un electrón sea como en el primer caso o como en el segundo.
Fíjate en el primer dibujo, y recuerda tanto la interpretación probabilística de Born como la hipótesis de de Broglie: en los puntos de máxima amplitud de la onda es donde más probablemente encontraríamos al electrón si lo detectamos como partícula, por ejemplo con una pantalla. En los puntos en los que la onda cruza la horizontal no encontraríamos jamás al electrón. Por otro lado, la velocidad de ese electrón está definida por la longitud de la onda.
Respecto a la velocidad, no hay ningún problema – podríamos simplemente calcularla como hacía de Broglie y la conoceríamos perfectamente, pues esa onda infinita tiene una longitud de onda perfectamente definida. Pero no tenemos ni la más mínima idea de donde está el electrón. Recuerda que esa onda es infinita, de modo que el electrón puede encontrarse en cualquier punto en el que la amplitud no sea nula: ¡hay infinitas crestas! Cuando la onda tiene una longitud de onda perfectamente definida, se extiende por todo el espacio.
Por supuesto, ocurre justo lo contrario con el segundo dibujo: ahí la onda está muy bien definida en el espacio. No encontraríamos al electrón en cualquier parte, y de hecho la mayor parte de las veces estaría en algún sitio del pico más alto de todos… pero esa onda no tiene una longitud de onda bien definida, porque es un pulso muy estrecho. Sabemos muy bien dónde está el electrón, pero no conocemos su velocidad con casi ninguna precisión.
Puedes pensarlo así: para que esté bien definida la longitud de una onda hace falta que ésta tenga muchas crestas y muchos valles. Pero para que suceda eso tiene que extenderse mucho en el espacio. Por otro lado, cuanto más alto y estrecho es un pulso de onda –y, por lo tanto, más precisa es la posición de la onda–, peor definida está su longitud de onda. No es posible tener una onda muy restringida en el espacio (con un pico muy alto y muy estrecho) pero que tenga la longitud de onda bien definida, porque la longitud de onda requiere, para tener un valor fijo, muchas crestas de la onda.
Existen ondas con algunas características peculiares, como las ondas estacionarias, que pueden tener una extensión relativamente pequeña y una longitud de onda bien definida. De hecho, puede pensarse en los electrones en orbitales atómicos como una especie de “ondas estacionarias” que rodean el núcleo. Sin embargo, incluso en este caso no podemos conocer la posición del electrón (o la partícula que sea) con precisión arbitraria sin volver “borrosa” la longitud de onda. Sí podemos saber que está entre los dos extremos de la onda, no en los puntos de amplitud nula (los nodos de la onda estacionaria), y más probablemente en las crestas de la onda.
Es decir, podemos conocer la distribución de probabilidad de encontrar el electrón en cada lugar, pero la suma de todas esas probabilidades (la nube de probabilidad) es la propia onda estacionaria que rodea al átomo, con la forma que tenga según la solución a la ecuación de Schrödinger.
Por si acaso la explicación te deja confuso, voy a intentarlo de una forma diferente, aunque tienes que ejercitar tu imaginación para visualizar lo que voy a decir. Imagina que tienes una onda infinita y perfecta, con todas sus crestas y valles perfectamente definidos. Su longitud de onda tiene un valor fijo, pero la onda se extiende por todo el espacio, como en el primero de los dos dibujos de arriba.
Pero supongamos que no estás contento con eso, sino que quieres que la onda sólo exista en una región más pequeña del espacio, de modo que agarras los extremos (sí, en el infinito, ¿no te he dicho que ejercites la imaginación?) y los “aprietas” con las manos hacia dentro, de modo que la onda ocupe menos espacio. Por la propia naturaleza matemática de las ondas, la onda se “arruga” y pierde su forma perfectamente definida, de modo que algunas de las crestas casi desaparecen (o lo hacen completamente), mientras que otras se hacen más grandes, y algunas quedan más cerca de otras mientras que algunas se alejan. Al final acabas con el pulso de onda de abajo, muy definido en el espacio pero con una longitud de onda muy difusa.
¡Es justo lo que decía Heisenberg, en términos diferentes! Si la velocidad está muy bien definida, no tenemos ni idea de dónde está el electrón (en términos de Schrödinger, si la longitud de onda está bien definida, la onda se extiende mucho en el espacio). Si la posición está muy bien definida, no tenemos ni idea de la velocidad del electrón (en términos de Schrödinger, si el pulso es muy estrecho su longitud de onda está mal definida).
Por lo tanto, aceptar la formulación de Schrödinger –como parecía ya evidente una vez Born propuso su interpretación probabilística– no es la salvación que algunos esperaban de un “mundo aleatorio”. Puesto que las dos formulaciones matemáticas son equivalentes, esto no debería ser sorprendente, pero para algunos supuso un duro golpe.
Lo que sí es cierto es que mientras que deducir de forma lógica las relaciones de incertidumbre a partir de la formulación matricial de Heisenberg es muy difícil, hacerlo a partir de la ecuación de onda de Schrödinger es relativamente intuitivo: de hecho, mejor o peor, acabamos de hacerlo aquí mismo. Esta fue una de las razones que hicieron a la formulación ondulatoria mucho más común que la matricial.
De lo que no cabía duda, a partir de cualquiera de las dos teorías alternativas, era de lo inevitable: es imposible conocer con precisión arbitraria la posición y la velocidad de una onda-partícula material. La razón, en términos de Schrödinger, no es otra que la naturaleza ondulatoria de la materia.
Quiero incidir una vez más en esto por lo extendido de las falsas ideas sobre el principio de incertidumbre, aunque ya las desmentimos en los artículos dedicados a él, en este caso utilizando la formulación ondulatoria: la indeterminación no se debe simplemente a que al observar el electrón lo modifiquemos; la indeterminación es una consecuencia inevitable del hecho de que el electrón es una onda, y una onda no puede tener una posición y una longitud de onda muy bien definidas a la vez.
Desde luego, aceptar el buen funcionamiento experimental de ambas formulaciones no requiere aceptarlas como verdades últimas: muchos físicos pensaban que no conocíamos todo lo que hay que conocer sobre las partículas, y de ahí que las describamos como ondas. Otros pensaban que no existe tal cosa como una “partícula”, sino simplemente ondas. A lo largo de la serie iremos desgranando las diversas interpretaciones de la aparente aleatoriedad del Universo.
Sin embargo, la solidez matemática y –más importante aún– la extraordinaria precisión con la que las teorías de Heisenberg y Schrödinger predecían los experimentos no dejaban lugar a dudas: cualquier teoría posterior muy probablemente sería compatible con ellas. Tal vez las dejara como casos particulares de una teoría más extensa, como la mecánica newtoniana es un caso particular de la relatividad Einsteniana, pero no podían ser ignoradas.
En la siguiente entrega de la serie hablaremos acerca de algún caso concreto de aplicación de la ecuación de Schrödinger, y una más de las conclusiones que se extraen de ella pero que hacen chirriar nuestra intuición. Estudiaremos las soluciones para varios “pozos de potencial”, para comprobar cómo los resultados de Schrödinger parecen imposibles si se piensa en términos clásicos, y lo que es más interesante, el efecto túnel. En el siguiente artículo, el pozo de potencial infinito


Como siempre, he incluido estas reflexiones en mi blog “Historias del LEAN”:


Que disfrutéis cada hora de este puente tan atractivo
Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros




























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