Estimad@s Clientes y/o amantes del LEAN:
La semana pasada hablaba del fin de la física clásica, personalizada
en Lord Kelvin, y del principio de la física moderna, representada por la
ecuación de onda de Schrodinger:
Mensajes amables de fin de semana: Lord Kelvin y
Schrodinger, el principio del fin, el fin del principio:
Lo anterior no es
óbice para que rinda, en este post, mi más sentido homenaje a Newton, el más
grande científico de todos los tiempos, según mi humilde opinión
Para ello, nada más idóneo
que la física y las matemáticas que hay encerradas en un “aparatejo” de uso
común en nuestros hospitales, la Resonancia Magnética, uno de los ejemplos
prácticos más emblemáticos de los principios de la Mecánica Cuántica, pero
donde una de las múltiples contribuciones de Newton ( y Leibnitz ) es
fundamental, el cálculo infinitesimal, y más concretamente las integrales
Con ayuda de las integrales, en este caso la Transformada de
Fourier, transformamos la radiación que (cuando nos hacen una Resonancia)
devuelve el cuerpo, dependiente del tiempo, en otra que está basada en
frecuencias
Esas frecuencias indican la ubicación de los protones de
hidrógeno de nuestras células, información vital para la reconstrucción de la
imagen de la Resonancia
Muchos de esos protones son protones del agua, por lo que la
RMI es especialmente adecuada para la obtención de imágenes de tejidos blandos,
como el cerebro, los ojos, y otras estructuras de tejido blando en la cabeza,
como se muestra a la izquierda. El hueso del cráneo no tiene muchos protones,
por lo que aparece oscuro. También la imagen de las cavidades aparecen como
regiones oscuras.
Si hay un descubrimiento matemático fundamental clave, ese
fue el cálculo infinitesimal, o sea las derivadas y las integrales
Sin Newton y Leibnitz, la física se hubiera estancado
Por eso, Einstein dijo, cuando aquella maravillosa
generación de físicos, a principios del Siglo XX, sentó las bases de la nueva
Física:
“Esto ha sido posible porque caminamos a hombros de
gigantes”
Sirva este post como mi pequeño homenaje a Newton y a
todo lo que este genio sin igual descubrió
El resto del escrito detalla lo mejor que he encontrado, por
ahí en Internet, de esa maravilla técnica que es la Resonancia Magnética, así
como algún post que dediqué a este tema
Imagen por Resonancia Magnética
La resonancia magnética nuclear de protón (NMR)
detecta la presencia de hidrógenos (protones), sometiéndolos a un gran campo
magnético para polarizar
parcialmente los espines nucleares, a continuación, excitar los
espines con radiación de radio
frequency (RF) correctamente sintonizada, y luego la detección
de la radiación de radio frecuencia débil de los protones, cuando se "relajan"
de esta interacción magnética. La frecuencia de esta "señal" de
protón es proporcional al campo magnético al que están sometidos durante este
proceso de relajación. En la aplicación médica conocida como imagen de
resonancia magnética (MRI), se puede hacer una imagen de una sección
transversal de tejido, mediante la producción de un gradiente de campo
magnético bien calibrado a través del tejido, para que un cierto valor de campo
magnético puede estar asociada con una ubicación dada del tejido. Puesto que la
frecuencia de la señal de protones es proporcional a ese campo magnético, una
frecuencia de señal de protones dada, puede ser asignada a una ubicación en el
tejido. Esto proporciona la información para mapear el tejido en términos de
los protones allí presentes. Puesto que la densidad de protones varía con el
tipo de tejido, se inyecta una cierta cantidad de contraste, para mapear la
imagen de los órganos y otras variaciones del tejido en el cuerpo del sujeto.
Puesto que la resonancia magnética utiliza la NMR de protón,
refleja pues la concentración de protones. Muchos de esos protones son protones
del agua, por lo que la RMI es especialmente adecuada para la obtención de
imágenes de tejidos blandos, como el cerebro, los ojos, y otras estructuras de
tejido blando en la cabeza, como se muestra a la izquierda. El hueso del cráneo
no tiene muchos protones, por lo que aparece oscuro. También la imagen de las
cavidades aparecen como regiones oscuras.
Según la evaluación de
Bushong, alrededor del 80% de los átomos del cuerpo son átomos de hidrógeno,
por lo que la mayor parte del cuerpo tienen una abundancia de fuentes de
señales de NMR de hidrógeno que conforman la imagen por resonancia magnética.
El esquema de abajo puede ayudar a visualizar el proceso de
formación de imágenes. Se presume que hay dos regiones de la muestra que
contienen hidrógenos suficientes para producir una fuerte señal de NMR. El
dibujo superior visualiza un proceso de NMR, con un campo magnético constante
aplicado a toda la muestra. La frecuencia spin-flip del hidrógeno, es entonces
la misma para todas las partes de la muestra. Una vez excitado por la señal de RF,
los hidrógenos tenderá a volver a sus estados más bajos en un proceso llamado
"relajación", y vuelven a emitir radiación de RF a su frecuencia de
Larmor. Esta señal es detectada como una función del tiempo, y luego se
convierte en intensidad de señal en función de la frecuencia, por medio de
una transformación
de Fourier. Dado que los protones en cada una de las áreas activas
de la muestra, está sometidos al mismo campo magnético, producirán la misma
frecuencia de radiación y la transformada de Fourier de la señal detectada,
tendrá sólo un pico. Este pico único, demuestra la presencia de átomos de
hidrógeno, pero no da información para localizarlos en la muestra.
La información sobre la ubicación de los átomos de hidrógeno
se puede conseguir mediante la adición de un campo de gradiente calibrado, a
través de la región de la muestra como se muestra en el dibujo inferior de
arriba. Con un campo magnético aumentando a medida que se mueve a la derecha a
través de la muestra, la energía spin-flip y por lo tanto la frecuencia de la
señal emitida, aumenta de izquierda a derecha. Cuando es excitada por un
transmisor de RF, la señal emitida contiene diferentes frecuencias para las dos
áreas de concentración de protones. Estas frecuencias pueden ser separadas por
medio de la transformada
de Fourier, y el ejemplo da dos regiones diferentes de frecuencia,
para las dos áreas de la muestra. Este es el principio del proceso de
localización de los átomos de hidrógeno. En el boceto, sólo los ubica a lo
largo de la dirección horizontal, sin dar ninguna indicación de que están a
diferentes alturas.
Cuando se utiliza un gradiente de campo giratorio, se recoge la
información de posición lineal a lo largo de un número de direcciones
diferentes. Esa información puede combinarse para producir un mapa de dos
dimensiones de las densidades de protones. Las señales de protones de la NMR
son bastante sensibles a las diferencias en el contenido de protones, que son
características de los diferentes tipos de tejido. A pesar de que la resolución
espacial de la MRI no es tan grande como una película convencional de rayos X,
su resolución de contraste es mucho mejor para los tejidos. El escaneo rápido y
la reconstrucción por ordenador, dan imágenes de los órganos bien resueltas.
Mensajes amables de fin de semana: mi columna, la
Resonancia Magnética, la Mecánica Cuántica y la Transformada de Fourier:
Soy un hombre “biónico”: tengo un implante de titanio entre
dos vértebras cervicales, que me lo pusieron hace unos años para corregir un
disco intervertebral que estaba ya bastante deteriorado
Hace pocas semanas, me hicieron una resonancia magnética
para ver qué tal va la cosa por ahí
La verdad es que, cuando el neurocirujano te enseña las
imágenes de tu columna te quedas impresionado por la precisión y nitidez de las
mismas; parece magia que podamos ver con “esos ojos de la ciencia” las
interioridades de nuestra columna
Pongo un caso sacado de Internet ( no es mi columna, pero
para los efectos del presente escrito, da lo mismo )
Exámen de imágenes por
resonancia magnética de la columna lumbar
Una vista lateral de la columna lumbar muestra discos, canal
espinal y raíces nerviosas normales (ver figura 1). Las raíces nerviosas
normalmente flotan en el canal lleno de líquido. La figura 2 muestra una
pequeña hernia de disco que avanza hacia el canal en dirección a las raíces
nerviosas.
El resto del presente escrito está dedicado a profundizar un
poco en las bases físicas de esta maravilla que nos brinda la ciencia….y
a expresar una vez más mi enorme admiración por lo transcendental que fue para
el género humano el descubrimiento que hizo Fourier de su famosa transformada
La Resonancia Magnética es Mecánica Cuántica en estado
puro
Lo que más me maravilló la primera vez que me lo explicaron
es de qué forma tan elegante llegamos al corazón del núcleo, sin preocuparnos
de otras fuerzas que, como en el caso de que interviniera la electromagnética,
sería mucho más complejo
El espín nuclear
Electrones, neutrones y protones, los tres tipos de
partículas que constituyen el átomo, tienen una propiedad intrínseca que se
llama espín. El espín aparece de forma natural como un cuarto número
cuántico de la función de onda cuando se resuelve la ecuación de onda de
Schrödinger incluyendo el efecto relativista.
El espín representa una propiedad general de las partículas
puede entenderse fácilmente por analogía con las propiedades de los electrones.
Es sabido que los electrones que circulan por una bobina generan un campo
magnético en una determinada dirección. De manera análoga, los electrones del
átomo circulan alrededor del núcleo y generan un campo magnético que llevará
asociado un determinado momento angular. Existe un momento angular asociado a
la partícula misma ya se trate del electrón, protón y neutrón, y
éste se describe mediante el número cuántico de espín que puede tomar valores
de + ½ y –½.
De particular interés para la Resonancia Magnética Nuclear
(RMN) es el espín de los protones y neutrones del núcleo atómico. En el núcleo
atómico, cada protón se puede aparear con otro protón con espín antiparalelo
(algo análogo a lo que sucede con los electrones en los enlaces químicos). Los
neutrones también pueden hacerlo. Los pares de partículas que resultan de
combinar un espín de signo positivo con otro negativo, da como resultado un
espín neto de valor cero. Por esta razón núcleos con número de protones y
neutrones impar dan lugar a un espín neto, donde el número de desapareamientos
contribuye con ½ al total del número cuántico de espín nuclear,
denominado I.
Por tanto, entre los elementos de la Tabla Periódica, cada
isótopo de un determinado átomo, dependiendo de cuál sea el número de protones
y neutrones del núcleo, va a tener un determinado valor de I.
|
Num.
protones |
Num.
neutrones |
protones + neutrones
|
spin I
|
ejemplos
|
|
par
|
par
|
par
|
0
|
12C, 16O
|
|
par
|
impar
|
impar
|
1/2
|
1H, 13C, 15N
|
|
impar
|
par
|
impar
|
>=1
|
2D, 14N
|
Los isótopos con I = 0 son inactivos a la RMN, los isótopos
con I= 1/2 tienen una distribución esférica de carga en el núcleo mientras que
los isótopos con I >= 1 no tienen una distribución de carga esférica en el
núcleo, son cuadrupolares. Cuando I no es nulo, el núcleo
tiene un momento angular de espín y un momento magnético asociado, µ,
que depende de la dirección del espín. En los experimentos de RMN modernos lo
que se hace es manipular el momento magnético.
El momento de espín angular que un núcleo puede tomar va
desde +I a –I en pasos enteros. Este valor se
conoce como el número cuántico magnético, m. Para un núcleo dado,
el número total de estados posibles del momento angular es (2I+1). El momento
angular de espín es una magnitud vectorial. La componente z del mismo
(denominada Iz) está cuantizada:
Iz = m h
/ 2 p
m = (+I, I-1, I-2,
..., -I)
Donde h es la constante de Planck.
Comportamiento de los espines en un campo magnético estático
a) Situación de equilibrio
Podemos hacernos una imagen simplificada de lo que sucede al
introducir una muestra con isótopos de espín I= ½ (por ej. 1H, 13C
o 19F) dentro del campo magnético de la RMN. Estos núcleos
tienen dos posibles estados del momento magnético, a menudo referidos como + ½
y -½ (también se les llama arriba y abajo o bien estados a y ß).
Las energías de los dos estados en ausencia de campo
magnético externo están degeneradas, esto es lo mismo que decir que son iguales
y por tanto, en ausencia de campo magnético el número de átomos (población) en
el estado + ½ es el mismo que el número de átomos en el estado -½. El resultado
del momento magnético global, m, que es proporcional al valor del
espín es nulo.
Cuando un núcleo con espín nuclear no nulo es sometido
a un campo magnético, el eje del momento angular coincide con la dirección del
campo. Como resultado, el momento magnético, m, va a dejar
de ser nulo ya que uno de los estados va a estar alineado con el campo
magnético externo B0 (dirección +z) y por tanto es de menor
energía, mientras que el otro va a estar en una dirección opuesta (dirección
-z) y va tener mayor energía.
La diferencia de energía entre los dos estados del espín I=
1/2 es proporcional a la fortaleza del campo magnético externo (efecto Zeeman).
El siguiente diagrama ilustra como los dos estados de espín tienen exactamente
la misma energía cuando el campo magnético es cero, y que esta diverge
linealmente a medida que el campo aumenta.
Fig. Diferencia de energía para los dos estados de espín
de un núcleo con I = 1/2. µ es el momento magnético del núcleo en el campo.
Para un campo magnético dado en el que hay una determinada
diferencia de energía DE entre los estados, existe un pequeño desvío de
población hacia el estado de menor energía que resulta en un pequeño exceso de
población en el estado de menor energía. La Ecuación de Bolzmann que es función
de DE y de la tempertura, permite calcular cual es la diferencia de
población entre los estados de espín.
Ec. Bolzmann: Nparalelo / N antiparalelo =
eDE/kT
En un campo magnético el vector del espín precesiona en
torno al campo mangético (eje z). Las componentes en el plano x-y varian con el
tiempo a la frecuencia B0 llamada frecuencia de resonancia de
Larmor (w0).
El hecho de que exista un pequeño exceso de espines en el
nivel de menor energía da lugar a un vector de magnetización macroscópica neta
(M). Como las componentes en el plano x-y están distribuidas
aleatoriamente, la suma neta de las componentes en este plano es cero. Por
tanto, en el equilibrio, existe una componente de magnetización neta que apunta
en la dirección del campo magnético B0 (eje +Z)
Fig. modelo simplificado de la magnetización microscópica a)
y macroscópica b) de un conjunto de espines en presencia de un campo magnético.
En el equilibrio hay más espines en la dirección del campo (+z) lo que da lugar
a un vector de magnetización neta M de magnitud constante.
La magnitud del vector de magnetización neta (Mz)
es proporcional a la diferencia de poblaciones en el estado paralelo y
antiparalelo al campo, es decir, en los estados a y b.
Podemos hacernos una imagen aproximada de lo que sucede a
nivel macroscópico del siguiente modo. Los núcleos con espines I = ½ de una
molécula pueden ser considerados como pequeños imanes con direcciones Norte/Sur
(dos posibles estados de energía). En ausencia de campo magnético los espines
se encuentran desordenados pudiendo apuntar en cualquier dirección. En
presencia de un campo magnético intenso (B0) los "imanes" de los
espines nucleares de la muestra tenderán a orientarse preferentemente aunque no
exclusivamente en la dirección del campo magnético externo (dirección +z)
generándose un pequeño exceso de población en el nivel de menor energía
Fig. Situación de equilibrio espines dentro de un campo
magnético
La diferencia de energía, DE, entre los
estados a y b es:
DE = (h g B0) / 2 p
La situación de resonancia entre los dos estados se consigue
aplicando una radiación electromagnética (generalmente en la región de las
radiofrecuencias, MHz) que tenga exáctamente el valor de energía DE. La
energía de un fotón es E = hn, donde n es su frecuencia. Por tanto,
la frecuencia de la radiación electromagnética requerida para producir
resonancia de un determinado nucleo en un campo magnético B0 es:
n= g B0 / 2 p
Esta frecuencia de resonancia n es la que da lugar
al espectro de RMN y se conoce como frecuencia de Larmor.
b) Situación fuera del equilibrio
Un pequeño pulso en la región de las radiofrecuencias (MHz)
aplicado en un plano perpendicular al campo magnético del imán genera un
segundo campo magnético (dirección B1) que puede inducir transiciones (cambios
de población) entre los estados del espín. Esto sucederá cuando el pulso tenga
exactamente la energía exacta DE que separa los dos estados +½ y -½, o
dicho de otro modo, cuando su frecuencia coincida con la frecuencia de Larmor.
Fig. Un pulso de la frecuencia adecuada
(radio-frecuencia) induce transiciones que perturban las poblaciones de
equilibrio de los espines nucleares.
A nivel macroscópico, durante el tiempo que dura el pulso,
este segundo campo magnético se producen rotaciones de los espines nucleares
"imanes". Cuando el pulso deja de aplicarse los espines dejan de
rotar y quedan alineados (un pequeño exceso de población), en una dirección en
principio arbitraria que puede no ser la misma que la situación de equilibrio.
Fig. Situación fuera del equilibrio creada tras la
aplicación de un pulso de la frecuencia adecuada (radio-frecuencia)
Los pulsos producen rotaciones de la magnetización neta en
determinadas direcciones, esto puede representarse por medio de un diagrama con
ejes cartesianos, lo que se conoce como modelo vectorial:
Fig. Un pulso de radiofrecuencia consiste en un campo
magnético adicional B1 aplicado a lo largo de un eje situado en
el plano x-y durante un tiempo limitado. El sistema de espines absorbe energía
y la magnetización neta M rota un determinado ángulo hacia el plano x-y mientras
dure el pulso. En la figura el pulso se aplica durante un determinado tiempo
hasta conseguir girar la magnetización 90º en torno al eje y hasta
llevarla exactámente sobre el eje x.
Cuando el pulso cesa, los espines nucleares que se
encuentren en situación fuera del equilibrio, tienden a recuperar
espontáneamente el estado inicial de población de equilibrio. Esto se consigue
emitiendo el exceso de energía en forma de una onda de radio a la frecuencia de
Larmor de los espines. Esta señal es amplificada y digitalizada
convenientemente y es lo que se conoce como un espectro de RMN.
Fig. Cuando el sistema regresa a la situación de
equilibrio se emite una onda llamada FID que da lugar al espectro de RMN
A nivel macroscópico la vuelta a la situación de equilibrio
lleva a la situación inicial donde los pequeños imanes están alineados con B0:
Toda esta información la he sacado de un maravilloso link
de la Universidad de Santiago de Compostela:
Siguientes pasos, una vez los espines se vuelven a
desalinear
Digitalización mediante transformada de Fourier
La desalineación de los espines, es decir, la recuperación
natural de la dirección y sentido de éstos una vez sometidos a la radiación
electromagnética, generará unas emisiones a consecuencia de la liberación
energética, los cuales serán captados por la antena receptora del escáner. Estas emisiones han de ir en concordancia con
la Dim-Fase, siendo la compilación de
todas estas emisiones el principio de la resonancia magnética.
Una vez finalizada toda la extracción de datos se procederá
al trato de las mismas en el dominio de la frecuencia mediante el empleo de
la transformada de Fourier, la cual nos
facilitará la reconstrucción de la imagen final por pantalla. La frecuencia de
la variación de una señal en el espacio se denomina "K", es decir,
los datos compilados en el dominio de las frecuencias espaciales se
denomina espacio K.
La finalidad de la creación de este espacio es poder aplicar
las leyes matemáticas de Fourier,
lo que permite identificar el lugar de procedencia de las emisiones en un
determinado momento y, por lo tanto, su lugar de procedencia.
Explicación adicional sobre las relajaciones
longitudinal y trnsversal, momento cumbre de donde proceden las imágenes de la
resonancia
La desviación del sistema del equilibrio, como consecuencia
de la introducción de un pulso de radiofrecuencia, provoca la aparición de
magnetización transversal, en el plano xy. Cuando el pulso de rf ha
cesado, el sistema tiende a volver al equilibrio. De este modo, la
magnetización transversal del plano xyse extingue con el tiempo. La
bobina excitadora, que ha sido conmutada a receptora, detecta este proceso de
relajación al equilibrio. La magnetización transversal, que gira a la
frecuencia de Larmor, induce una radiofrecuencia en la bobina que es detectada
y convertida en una señal medible.
Es imposible que el campo magnético creado por el imán sea
totalmente homogéneo. Las desviaciones de esta homegeneidad hacen que los
nucleos "sientan" un campo ligeramente distinto dependiendo de su
situación en el tubo de muestra. Así, los vectores magnéticos de los núcleos
individuales, que componen la magnetización transversal del plano xy, se
abrirán en abanico, disminuyendo la intensidad de la magnetización transversal.
De este modo, la inhomogeneidad del imán marca otro proceso, regulado por un
tiempo T2, por el que la magnetización desaparece del plano xy con
el tiempo.
En resumen, la magnetización macroscópica va desapareciendo
del plano xy y recupera su posición inicial en el eje z mediante
dos mecanismos distintos, regulados por los tiempos de relajación T1 y
T2.
Es durante esta vuelta al equilibrio cuando se hace la
medida de la señal de resonancia.
La magnetización transversal en el plano xy, que
gira a la frecuencia de resonancia de los núcleos en cuestión y que decae con
el tiempo, induce una rf en la bobina receptora. Después de la debida
amplificación, la rf se mide en intervalos muy cortos de tiempo. Cada medida se
lleva a una posición de memoria del ordenador. Al cabo de 2-3 min. el ordenador
ha almacenado miles de medidas, cuyos puntos, representados de forma
consecutiva, forman una función senoidal compleja, denominada FID.
La FID es por tanto una medida de la vuelta al
equilibrio. Para ello, la señal de rf se ha convertido (digitalizado)
en miles de puntos (TD) durante el tiempo de medida, denominado tiempo de
adquisición (AQ).
La FID está constituida por una composición de señales
senoidales, cada una correspondiente a una señal del espectro. Esta
señal necesita de un tratamiento posterior para convertirla en el espectro.
Las frecuencias encerradas en una FID pueden desenmascararse
mediante la función matemática de la transformada de Fourier (FT). Aplicada la
ecuación integral compleja de la FT a cada punto de la FID, que está definida
en el dominio del tiempo (AQ), se obtiene un nuevo conjunto de puntos, que es
el verdadero espectro rmn, en el dominio de las frecuencias.
Esta información la he sacado de esta hermosa página de la
Universidad Autónoma de Madrid:
Nota final: no puedo dejar de descubrirme una vez más ante
esta nueva aplicación de la transformada que descubrió Fourier hace muchos años …….hay
muy pocos casos en la historia de ciencia en que una ecuación matemática tenga
tan variadas aplicaciones, que abarcan un descubrir el origen de las
vibraciones en una Prensa hasta la Resonancia Magnética, pasando por supuesto
por todo lo que implica esta transformada en las telecomunicaciones, ….y hasta
en los formatos comprimidos de video y audio que llevamos en nuestros móviles
Como siempre, he incluido estas reflexiones en mi blog
“Historias del LEAN”:
Que disfrutéis cada hora del fin de semana
Un cordial saludo
Alvaro Ballesteros
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